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第一章极限与连续
第一节 数列的极限
一、数列极限的概念
按照某一法则，对于每一个，对应一个确定的实数，将这些实数按下标从小到。
分析：为使 ，只要，即。
证明：，取，当时，对应函数值满足
因此，。
的几何解释：，，当时，
即 或
即 时，
如图所示：
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如果，，当时，，则说从的右侧趋向于（记为）时，，记为，或；
如果，，当时，，则说从的左侧趋向于（记为）时，，记为，或；
显然，，
例3 设函数

当时，的极限不存在。
例4 证明
例5 证明
例6 证明
例7 证明
二、函数极限的性质
定理1 （函数极限的唯一性）如果存在，则极限是唯一的。
定理2 （函数极限的局部有界性）如果，则存在正数和，使得当时，有。
证明：
定理3 （函数极限的局部保号性）如果，且（或），则存在常数，使得当时，有（或）。
推论 如果在的某去心邻域内，（或），且，则（或）。
定理4 （函数极限与数列极限的关系）如果极限，为函数定义域内一收敛的数列，且（），则对应的函数值数列也收敛，且。
证明：由于，则，，当时，有；
又由于，故对于上面的，，当时，有，当然有；
因此，，，当时，有，故，即。
第三节 无穷小与无穷大
一、无穷小
定义1 如果函数当（或）时的极限为零，则函数称为当（或）时的无穷小。
例如：，因此为时的无穷小；，因此为时的无穷小。
为时的无穷小，，当时，；
为时的无穷小，，当时，；
定理1 在自变量的同一变化过程（或）中，函数以为极限的充分必要条件是，其中是无穷小。
证明：必要性：设，则，，当时，。
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令，则是时的无穷小，且。
充分性：设，其中为常数，是时的无穷小。于是，，，当时，，即，因此，为当时的极限，或。
二、无穷大
如果当（或）时，对应的函数值的绝对值无限增大，则称函数为（或）时的无穷大。
定义2 设函数在的某一去心邻域内有定义（或大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数（不论它多么大），总存在正数（或正数），当满足（或）时，对应函数值满足

则说函数为（或）时的无穷大。
如果函数为（或）时的无穷大，也可记为
（或）
例如：为时的无穷大；为时的无穷大。
：，，当时，；
：，，当时，。
如果，则直线是函数的图形的铅直渐近线；
如果，则直线是函数的图形的水平渐近线。
定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。
第四节 极限运算法则
定理1 有限个无穷小的和也是无穷小。
证明：以两个无穷小的和为例：
设及是时的两个无穷小，令。
由于是时无穷小：，，当时，；
又由于是时无穷小：对于，，当时，；
取，则当时，与都成立，故与同时满足，因此

即为时的无穷小。
定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。
推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。
推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小。
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定理3 如果，，则
(1)
(2)
(3) ()
证明：以(2)为例，由于，得，为无穷小；又由于，得，也为无穷小，因此
由定理与推论，得为无穷小，故为的极限。
定理3中的(1)和(2)可推广到有限个的情况，即
推论1 如果存在，为常数，则

推论2 如果存在，为正整数，则

将定理3应用于数列的情况，得
定理4 如果，，则
(1)
(2)
(3) (,, 且)
例1 求
例2 求
对于多项式函数

有

对于有理分式函数

其中，都是多项式，于是有
，
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因此，当时

例3 求
例4 求
例5 求
一般情况为

例6 求
例7 求
定理6（复合函数的极限运算法则）设函数是由函数与函数复合而成，在