结构力学图乘法.ppt

结构力学图乘法
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直梁和刚架位移计算积分公式
复****旧课
MP：（实际）位移状态的弯矩方程
M： （虚拟）力状态的弯矩方程
EI： 抗弯刚度
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直梁和刚架位移计算积分公式
复****旧课
MP：（实际）位移状态的弯矩方程
M： （虚拟）力状态的弯矩方程
EI： 抗弯刚度
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讲授新课
一、图乘法
1、图乘法的适用条件

计算梁和刚架的位移时，当荷载较复杂或杆件数目较多时，积分计算相当繁琐。但当组成结构各杆段符合下述条件：
(1) 杆轴为直线；
(2) EI为常数；
(3) M与MP弯矩图中至少有一个是直线图形。
则可用下述图乘法来代替积分运算，使计算得到简化。
图乘法
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MP图
x
y
面积 

A
B
O
A
B
MP
dx
d=MPdx
x
⌒
形心
C
xC
yC
yC=xCtg
A
A
2、图乘法原理
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由此可知，计算位移的积分就等于一个弯矩图的面积A乘以其形心所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yC，再除以EI，于是积分运算转化为数值乘除运算，此法即称图乘法。
剪力与轴力项能用图乘法？
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3、图乘法求位移的一般表达式
注意：
[1]. 应取自直线图中。
[2].若 与 在杆件的同侧, 取正值;反之,取负值（不是MP与M图位于杆件同侧或异侧）。
[3]. 如图形较复杂，可分解为几个简单图形。
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二、图乘法步骤
　　(1) 画出结构在实际荷载作用下的弯矩图（荷载弯矩图）MP；
　　(2) 根据所求位移选定相应的虚拟力状态，画出单位弯矩图M(注：M图不标单位）；
　　(3) 分段计算一个弯矩图形的面积A及其形心所对应的另一个弯矩图形的竖标yC；
　　(4) 将A、yC代入图乘法公式计算所求位移。
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三、几个规则图形的面积和形心位置
顶点：指曲线上切线平行于底边的点
标准抛物线：指顶点在中点或端点的抛物线
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当图形的面积和形心不便确定时，可以将其分解成几个简单的图形，分别与另一图形相应的纵坐标相乘。
1、图形分解图乘
（1）梯-梯同侧组合（三角形为特殊情况）
四、图乘法技巧
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（2）、梯-梯同侧组合：
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（3）异侧组合
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由区段叠加法作的弯矩图 ，其弯矩图可以看成一个直线弯矩图和一个规则抛物线图形的叠加 。
（4）非规则抛物线图形
MB
MA
+
MB
MA
任何一个二次抛物线图形均能分解为一个直线弯矩图和一个规则抛物线图形。
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（1）曲-折组合
2、分段图乘
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（2）阶梯形截面杆
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图乘法的应用举例
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求图(a)所示简支梁A端角位移φA及跨中C点的竖向位移ΔCV。EI为常数。
解：1、求φA
　　① 实际荷载作用下的弯矩图MP如图(b)所示。
　　② 在A端加单位力偶m=1，其单位弯矩图M如图(c)所示。
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③ MP图面积及其形心对应M图竖标分别为：
A=2/3*l*1/8*ql2=ql3/12
yC=1/2
④ 计算φA
　φA=1/EI*A*yC
=1/EI*ql3/12*1/2=ql3/24EI
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2、求ΔCV
　　① MP图如图(b)所示。
　　② 单位弯矩图M如图(d)所示。
　　③ 计算A、yC。
　　　A=2/3×1/8ql2×l/2=ql3/24
　　　yC=5/8×l/4=5l/32
　　④ 计算ΔCV
　　　ΔCV=2(1/EI*A*yC)= 5ql4/384EI (↓)
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