2011年高考天津市数学试卷-理科(含详细答案).doc

2020年普通高等学校招生全国统一考试　
天津卷(理科)
　　　　　　　　 第一卷
本卷共8小题，每题5分，共40分
一、选择题：在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．
　　有．
　　所以
　　即 ．
由于是腰上的动点，显然当，即时，
所以有最小值．
解法3 ．如图，，设为的中点，为的中点，那么，
，　　　　　　①
因为,．
那么
．　　　②
（实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”)
设为的中点,那么为梯形的中位线，．
设为的中点，且设，
那么,,，
代入式②得
　　,
于是，于是,当且仅当时，等号成立．
由式①，,
所以有最小值．
三、解答题：本大题共6小题，共80分。解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题总分值13分) 函数，
（Ⅰ） 求函数的定义域和最小正周期；
(Ⅱ) 设,假设，求的大小．
【解】（Ⅰ）　函数的定义域满足,，解得,．
所以函数的定义域为．最小正周期为．
（Ⅱ) 解法１．　因为,所以
　　，
所以，
于是,
因为，所以，所以，
因此,，
因为，所以，所以，．
解法2．因为，所以　　,
，　　　
,
所以，
因为,所以，
于是,整理得
　　　　　，
所以，因为，所以,因此．
解法3．，
，
因为，所以．
得．故．
于是．所以．
16．（本小题总分值13分)学校游园活动有这样一个游戏工程：甲箱子里装有
个白球，个黑球，乙箱子里装有个白球,个黑球,这些球除颜色外完全一样，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出个球，假设摸出的白球不少于个．那么获奖．(每次游戏完毕后将球放回原箱）
(Ⅰ）　求在次游戏中，
　　（ⅰ) 摸出个白球的概率；
(ⅱ) 获奖的概率；
(Ⅱ)　求在次游戏中，获奖次数的分布列及数学期望．
【解】(Ⅰ）　 （ⅰ）设“在次游戏中摸出个白球”为事件,那么
．
（ⅱ)设“在次游戏中获奖”为事件,那么，
，
因为和互斥，所以．
(Ⅱ) 的所有可能值为
，
,
,
所以的分布列是
　　　
数学期望．
17．(本小题总分值13分）如图，在三棱柱中中，是正方形的中心，,,且．
（Ⅰ） 求异面直线和所成角的余弦值；
(Ⅱ) 求二面角的正弦值；
（Ⅲ) 设为棱的中点，点在平面内，且，求线段的长．
【解】解法１．如以下图，建立空间直角坐标系,其中点为坐标原点,所在直线为轴，所在直线为轴．
由题意,,，，，，．
(Ⅰ） ，。
所以.
（Ⅱ） ,，
设平面的法向量为，那么即
令,那么，．．
设平面的法向量为，那么即
令，那么，．．
于是，所以．
所以二面角的正弦值为．
（Ⅲ) 由为棱的中点,得，设点，
那么．
因为，那么
即
解得故．向量,
所以线段的长．
解法2．（Ⅰ）由于,故是异面直线和所成的角．
因为，是正方形的中心，，，
所以，
，
因此．
(Ⅱ) 连接，因为及是的中点．那么，又,，所以
．
过点作于,连，于是，
所以为二面角的平面角．
在中，，
连，在中,，,
，从而．
所以二面角的正弦值为．
（Ⅲ)　因为，所以,取的中点,连接．
由于为棱的中点，所以，且．
又，故，
因为，所以,连接并延长交于点,
那么．故．
由，得．
延长交于，可得，连接．
在中,，由直角三角形的射影定理,，
所以，．
连接,在中,．
18．（本小题总分值13分） 在平面直角坐标系中，点为动点，，
分别为椭圆的左右焦点，为等腰三角形．
　　(Ⅰ) 求椭圆的离心率；
(Ⅱ） 设直线和椭圆相交于两点，是直线上的点，满足，求点的轨迹方程．
【解】（Ⅰ）设，．因为为等腰三角形，
假设，那么点在轴上,和矛盾，
假设，那么，,
由,有,即,或，不合题意，
所以，那么，，
由，有，即，（舍去)或．
所以椭圆的离心率为．
（Ⅱ） 解法1．因为，所以,．所以椭圆方程为．
直线的斜率，那么直线的方程为．
两点的坐标满足方程组
消去并整理得．那么，．
于是　不妨设，．
设点的坐标为．那么,,
由得．那么
，．
由,得，
化简得．
将代入得，所以．
因此点的轨迹方程为，．
解法2．因为，所以，．
椭圆方程为．
直线的斜率，那么直线的方程为．
两点的坐标满足方程组
消去并整理得．那么,．
于是　不妨设,．
因此点为椭圆短轴的下顶点．
如图,因为,所以点在线段的内部,
设点的坐标为．那么．
过和作轴的垂线．垂足分别为