定积分计算.ppt

定积分计算
本讲稿第一页，共三十七页

解:
（一）直接积分法
本讲稿第二页，共三十七页

解:
（一）凑微分法
本讲稿第三页，共三十七页
定积分计算
本讲稿第一页，共三十七页

解:
（一）直接积分法
本讲稿第二页，共三十七页

解:
（一）凑微分法
本讲稿第三页，共三十七页
（二）定积分的换元积分法
定理
本讲稿第四页，共三十七页

解:
说明: =2x+1来计算.

当x=0时,u=1;当x=2时,u=5. 所以
注意: 定积分的换元法一定要换积分的上下限.
本讲稿第五页，共三十七页
解:
本讲稿第六页，共三十七页
解:
说明:因换元积分法比较麻烦,建议尽可能使用“凑微分”
本讲稿第七页，共三十七页
例4
证 1） n=0时，显然成立
本讲稿第八页，共三十七页
练一练
求下列定积分
本讲稿第九页，共三十七页
练一练（解答）
本讲稿第十页，共三十七页
（三）定积分的分部积分法
定理
本讲稿第十一页，共三十七页

解:
本讲稿第十二页，共三十七页
两个重要结论
设f(x)在[-a,a]上连续，
(1)若f(x)为奇函数，则
(2)若f(x)为偶函数，则
证明(1)
本讲稿第十三页，共三十七页
例6
移项，得递推公式
本讲稿第十四页，共三十七页
如n=8
有公式
如n=7
本讲稿第十五页，共三十七页
利用上面结论，求下列定积分


提高题：
(1)用定积分求椭圆的面积？
(2)求证：
本讲稿第十六页，共三十七页
广义积分一、无穷限函数的广义积分*
定义 假设对 f(x) 在[a,b] 有定义且可积，
(1) 对于无[a,+∞]上的穷积分
如果 存在，我们称 收敛，
且定义：

否则，称 发散。
本讲稿第十七页，共三十七页
(2) 对于[-∞，b]的无穷积分
如果 存在，我们称 收敛，
且定义：

否则，称 发散。
本讲稿第十八页，共三十七页
（3）对于区间（-∞，+∞）的无穷积分　
如果 =A+B.
如果右边每一个无穷积分都存在，我们称 收敛，
如果其中之一不存在 ，则 发散。
本讲稿第十九页，共三十七页
例1 求
解 首先我们考察求
本讲稿第二十页，共三十七页
例2 讨论广义积分 的敛散性。
本讲稿第二十一页，共三十七页
例3 求广义积分 。
本讲稿第二十二页，共三十七页
二、无界函数的广义积分
本讲稿第二十三页，共三十七页
本讲稿第二十四页，共三十七页
定义中c为瑕点，以上积分称为瑕积分.
例5 计算广义积分
解
本讲稿第二十五页，共三十七页
证
本讲稿第二十六页，共三十七页
例7 计算广义积分
解
故原广义积分发散.
本讲稿第二十七页，共三十七页
瑕点
解
例8 计算广义积分
本讲稿第二十八页，共三十七页
注意
广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。
广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。
本讲稿第二十九页，共三十七页
如 无穷限积分
再如 瑕积分
本讲稿第三十页，共三十七页
例9。证明
证
本讲稿第三十一页，共三十七页
本讲稿第三十二页，共三十七页
无穷限的广义积分
无界函数的广义积分（瑕积分）
（注意：不能忽略内部的瑕点）
思考题
积分 的瑕点是哪几点？
三、小结
本讲稿第三十三页，共三十七页
积分