Dijkstra最短路径算法 (2).doc

附录E 最短路径算法——Dijkstra算法
在路由选择算法中都要用到求最短路径算法。最出名的求最短路径算法有两个，即Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。这两种算法的思路不同，但得出的结果是相同的。 附录E 最短路径算法——Dijkstra算法
在路由选择算法中都要用到求最短路径算法。最出名的求最短路径算法有两个，即Bellman-Ford算法和Dijkstra算法。这两种算法的思路不同，但得出的结果是相同的。我们在下面只介绍Dijkstra算法，它的已知条件是整个网络拓扑和各链路的长度。
应注意到，若将已知的各链路长度改为链路时延或费用，这就相当于求任意两结点之间具有最小时延或最小费用的路径。因此，求最短路径的算法具有普遍的应用价值。
下面以图E-1的网络为例来讨论这种算法，即寻找从源结点到网络中其他各结点的最短路径。为方便起见，设源结点为结点1。然后一步一步地寻找，每次找一个结点到源结点的最短路径，直到把所有的点都找到为止。
图E-1求最短路径算法的网络举例
令D(v)为源结点(记为结点1)到某个结点v的距离，它就是从结点1沿某一路径到结点v的所有链路的长度之和。再令l(i, j)为结点i至结点j之间的距离。整个算法只有以下两个部分：
(1) 初始化
令N表示网络结点的集合。先令N = {1}。对所有不在N中的结点v，写出
在用计算机进行求解时，可以用一个比任何路径长度大得多的数值代替∞。对于上述例子，可以使D(v) = 99。
(2) 寻找一个不在N中的结点w，其D(w)值为最小。把w加入到N中。然后对所有不在N中的结点v，用[D(v), D(w) + l(w, v)]中的较小的值去更新原有的D(v)值，即：
D(v)←Min[D(v), D(w) + l(w, v)] (E-1)
(3) 重复步骤(2)，直到所有的网络结点都在N中为止。
表E-1是对图E-1的网络进行求解的详细步骤。可以看出，上述的步骤(2)共执行了5次。表中带圆圈的数字是在每一次执行步骤(2)时所寻找的具有最小值的D(w) 值。当第5次执行步骤(2)并得出了结果后，所有网络结点都已包含在N之中，整个算法即告结束。
表E-1计算图E-1的网络的最短路径
步骤
N
D(2)
D(3)
D(4)
D(5)
D(6)
初始化
{1}
2
5
1
∞
∞
1
{1, 4}
2
4
①
2
∞
2
{1, 4, 5}
2
3
1
②
4
3
{1, 2, 4, 5}
②
3
1
2
4
4
{1, 2, 3, 4, 5}
2
③
1
2
4
5
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
2
3
1
2
④
现在我们对以上的最短路径树的找出过程进行一些解释。
因为选择了结点1为源结点，因此一开始在集合N中只有结点1。结点1只和结点2, 3和4直接相连，因此在初始化时，在D(2)，D(3)和D(4)下面就填入结点1到这些结点相应的距离，而在D(5)和D(6)下面填入∞。
下面执行步骤1。在结点1以外的结点中，找出一个距结点1最近的结