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§3 基本定理推广—复合闭路定理定义设有 n?1条闭路( 光滑或逐段光滑的简单闭曲线称为闭路) C, C 1,C 2,..., C n , 其中 C 1,C 2,..., C n都在 C 的内部, 且它们互不包含也互不相交, 以C及C 1, C 2, ... , C n为边界的区域 B是一多连通区域( B即是指由 C 的内部同时又在 C 1,C 2,..., C n外部的点集构成的多连通区域), B的边界称为一个复合闭路,记作?的正向为:沿?的正向行进时, ?的内部即区域 B总在?的左侧. 换句话说, 复合闭路?取正向, 是指外边界 C 取逆时针方向, 同时内边界 C 1,C 2,..., C n都取顺时针方向. ?????????? 21BC C 1C 2C 3 可将柯西-古萨基本定理推广到多连通域的情况. 设函数 f(z)在多连通域 D内解析, C为D内的任意一条简单闭曲线, 当 C 的内部不完全含于 D时, 沿 C 的积分就不一定为零. 假设 C及C 1为D内任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线, C 1在C内部, 而且以 C及C 1为边界的区域 D 1 全含于 D. 作两条不相交的弧线 AA '及 BB ',其中 A,B在 C上, A ',B '在C 1上, 这样构成两条全在 D内的简单闭曲线 AEBB ' E'A ' A 及 AA 'F'B' BFA . DCC 1A A'B B' D 1FE E' F'0d)(0d)( ''''''???? BFA BF AA AAE AEBB zzfzzf 将上面两等式相加, 得)(d)(d)( )(0d)(d)( 0d)(d)(d)( d)(d)(d)( 1 1 1''' '?????????????????????CC C C BB BB AA AA C Czzfzzf zzfzzf zzfzzfzzf zzfzzfzzf或即() 说明, 如果将 C及C 1 ??看成一条复合闭路?, 其正向为: 沿C逆时针, 沿C 1 ??顺时针, 则0d)(???zzf () 说明, 在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值, 只要在变形过程中不经过函数 f(z)不解析的点. 这一重要事实, 称为闭路变形原理. D变形过程中不能够经过 f(z)不解析的点?????????? 210d)() ii ;,d)(d)( i) 1????????zzfzzf k k 均取正方向与?为由 C及C k(k =1,2,..., n)所组成的复合闭路(C按逆时针, C k按顺时针)即定理(复合闭路定理)设C为多连通域 D内的一条简单闭曲线, C 1,C 2,..., C n是在 C内部的简单闭曲线, 它们互不包含也互不相交, 并且以 C, C 1, C 2, ..., C n为边界的区域全含于 D. 如果 f(z)在D内解析, 则 DC C 1C 2C 3