二次函数图像与性质总结.docx

二次函数的图像与性质
一、二次函数的基本形式
二次函数基本形式：的性质：
a 的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a
0
0 ，0
x
0 时， y 随 x 的增大而增大； x
0
h ，k
x
h 时， y 随 x 的增大而减小； x
h 时， y 随
向下
X=h
x h 时， y 有最大值 k ．
x 的增大而增大；
二、二次函数图象的平移
平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；
⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：
2. 平移规律
在原有函数的基础上 “值正右移，负左移；值正上移，负下移 ”．
概括成八个字 “左加右减，上加下减 ”．
方法二：
⑴沿轴平移 :向上（下）平移个单位，变成
1
（或）
⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）
三、二次函数与的比较
从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即，其中．
四、二次函数图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴
及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点 .
五、二次函数的性质
当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．
当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当时，有最小值．
当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值．
六、二次函数解析式的表示方法
一般式：（，，为常数，）；
顶点式：（，，为常数，）；
两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二
次函数解析式的这三种形式可以互化 . 七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
二次项系数
二次函数中，作为二次项系数，显然．
当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大；
⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大．
总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小．
一次项系数
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在的前提下，
当时，，即抛物线的对称轴在轴左侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的右侧．
⑵ 在的前提下，结论刚好与上述相反，即
当时，，即抛物线的对称轴在轴右侧；
当时，，即抛物线的对称轴就是轴；
当时，，即抛物线对称轴在轴的左侧．
总结起来