最优化方法 复习题.doc

《最优化方法》复****题 1、设( ) ( ) t f x td ?? ?,其中: n f R R ?二阶可导, , , n n x R d R t R ? ??,试求( )t???. 解 2 ( ) ( ) , ( ) ( ) T T t f x td d t d f x td d ? ?? ???? ? ???. 2、设 n n A R ??是对称矩阵,, n b R c R ? ?,求1 ( ) 2 T T f x x Ax b x c ? ??在任意点 x 处的梯度和 Hesse 矩阵. 解 2 ( ) , ( ) f x Ax b f x A ? ????. 3、 n S R ?是凸集的充分必要条件是 1 2 1 2 2, , , , , , , , m m m x x x S x x x ? ?? ?? ?的一切凸组合都属于 S . 是凸集,对m ?时, 由凸集的定义知结论成立,下面考虑 1 m k ? ? 11 k i i i x x ?????, 其中, 0, 1, 2, , 1 i i x S i k ?? ????,且 111 kii?????.不妨设 11 k???(不然 1k x x S ?? ?, 结论成立),记 111 kiiik y x ???????,有 1 1 1 (1 ) k k k x y x ? ?? ??? ? ?, 又 1 1 1 0, 1, 2, , , 1 1 1 k i i i k k i k ? ?? ??? ?? ? ?? ???, 则由归纳假设知, y S ?,而 1k x S ??,且 S 是凸集,故 x S ?. 4、设方向 n d R ?是函数( ) f x 在点 x 处的下降方向,令( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ? ?? ? ?? ??, 其中 I 为单位矩阵,证明方向( ) p H f x ???也是函数( ) f x 在点 x 处的下降方向. 证明由于方向 d 是函数( ) f x 在点 x 处的下降方向,因此( ) 0 T f x d ? ?,从而( ) ( ) ( ) T T f x p f x H f x ? ????( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ? ???? ???? ??( ) ( ) ( ) 0 T T f x f x f x d ??? ????, 所以,方向 p 是函数( ) f x 在点 x 处的下降方向. 5、设 nRS?为非空开凸集,RSf?: 在S 上可微,证明:f 为S 上的凸函数的充要条件是 2 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), , T f