第二类曲线积分的计算.doc

第二类曲线积分的计算作者:钟家伟指导老师:张伟伟摘要: 本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称性, 参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词: 第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分 1引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系, 重点介绍若干种主要的计算方法。 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景, 平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。 第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法, 利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。 第二类曲线积分的物理学背景力场??),(,),(),(yxQyxPyxF?沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作的功一质点受变力?? yxF, ?的作用沿平面曲线 L 运动, 当质点从 L 之一端点 A 移动到另一端 B 时, 求力?? yxF, ?所做功 W . 大家知道, 如果质点受常力 F ?的作用从 A 沿直线运动到 B , 那末这个常力 F ?所做功为 W = AB F??. 现在的问题是质点所受的力随处改变,而所走路线又是弯弯曲曲. 怎么办呢? 为此, 我们对有向曲线 L 作分割},,....., ,{ 110nnAAAAT ??, 即在 AB 内插入 1?n 个分点,,....., , 121?nMMM 与A =nMBM?, 0 一起把曲线分成n 个有向小曲线段 iiMM 1?),,2,1(ni??,记小曲线段 iiMM 1?的弧长为 iS?. 则分割},,....., ,{ 110nnAAAAT ??的细度为}{ max 1 iniST????. 设力?? yxF, ?在x 轴和 y 轴方向上的投影分别为),(yxP 与),(yxQ , 那么?? yxF, ?=??),( ),,(yxQyxPjyxQiyxP ??),(),(??由于),,( ),,( 111iiiiiiyxMyxM ???则有向小曲线段 iiMM 1?),,2,1(ni??在x 轴和 y 轴方向上的投影分别为 11???????? ?=),( iiyx??从而力?? yxF, ?在小曲线段 iiMM 1?上所作的功 iW??),( iF??? MML ?=?? iiP??, ix?+?? iiQ??, iy?其中(ji??, ) 为小曲线段 iiMM 1?上任一点, 于是力?? yxF, ?沿L 所作的功可近似等于 iW =?? ni iW 1 i ni iii ni iiysQxSP????????11),(),(??当0? T 时, 右端积分和式的极限就是所求的功. 这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. ),(yxP ,),(yxQ 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线 ABL 上的函数,对 ABL 任一分割 T , 它把 ABL 分成 n 个小弧段 iiMM 1?),,2,1(ni??; 其中 A =nMBM?, 0 . 记各个小弧段 iiMM 1?弧长为 is?, 分割 T 的细度为}{ max 1 iniST????, 又设 T 的分点的坐标为),( iiiyxM , 并记 11, ???????? iiiiiiyyyxxx ,),,2,1(ni??. 在每个小弧段 iiMM 1?上任取一点?? ii??, , 若极限???? ni iiiTxP 1 0),( lim ??????? ni iiiTyQ 1 0),( lim ??存在且与分割 T 与点?? ii??, 的取法无关, 则称此极限为函数),(yxP ,),(yxQ 在有向线段 ABL 上的第二类曲线积分, 记为?? LdyyxQdxyxP),(),( 或?? ABdyyxQdxyxP),(),( 也可记作??? LLdyyxQdxyxP),(),( 或??? AB ABdyyxQdxyxP),(),( 注: ( 1) 若记?? yxF, ?=??),( ),,(yxQyxP ,?? dydx sd,??则上述记号可写成向量形式:?? LsdF ??. (2) 倘若 L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(zyxP ,),,(zyxQ ,),,(zyxR 为定义在 L 上的函数, 则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分, 并记为 dzzyxRdyzyxQdxzyxP L),,(),,(),,(???按照这一定义, 有力场??),(,),(),(yxQyxPyxF?沿平面曲线 L 从点 A 到点 B 所作