【高考数学】含有三角函数的导数大题.pdf

: .
含有三角函数的导nx﹣ax+ x3（a R）．
∈
（1）讨论 f（x）的导函数 f′（x）零点的个数；
（2）若对任意的 x≥0，f（x）≥0 成立，求 a 的取值范围．
10．（2019 秋•江岸区校级月考）已知函数 ，f'（x）是 f（x）的
导函数．
（1）证明：当 m＝2 时，f'（x）在（0，+∞）上有唯一零点；
（2）若存在 x1，x2 （0，+∞），且 x1≠x2 时，f（x1）＝f（x2），证明： ．
∈
第 2页（共 15页）参考答案与试题解析
一．选择题
二．解答题（共 10 小题）
﹣
1．（2020•开封一模）已知函数 f（x）＝a•e x+sinx，a R，e 为自然对数的底数．
（1）当 a＝1 时，证明： x （﹣∞，0]，f（x）≥∈1；
（2）若函数 f（x）在（0，∀ ∈ ）上存在两个极值点，求实数 a 的取值范围．
﹣
【分析】（1）求出 f′（x）＝﹣e x+cosx，得出 f′（x）≤0，则 f（x）在（﹣∞，0]上
单调递减，结论可证．
（2）函数 f（x）在（0， ）上存在两个极值点；则 f′（x）＝0 在（0， ）上有两
个不等实数根，分离参数得 a＝excosx 在（0， ）上有两个不等实数根；设 g（x）＝
excosx，讨论函数 g（x）的单调性即可解决；
﹣
【解答】解：（1）当 a＝1 时，f（x）＝e x+sinx，
﹣ ﹣
f′（x）＝﹣e x+cosx，当 x≤0 时，﹣e x≤﹣1，则 f′（x）≤0 （x≤0）
所以 f（x）在（﹣∞，0]上单调递减，f（x）≥f（0）＝1；
所以： x （﹣∞，0]，f（x）≥1；
（2）函∀数∈f（x）在（0， ）上存在两个极值点；
则 f′（x）＝0 在（0， ）上有两个不等实数根；
﹣
即 f′（x）＝﹣ae x+cosx＝0 在（0， ）上有两个不等实数根；
即 a＝excosx 在（0， ）上有两个不等实数根；
设 g（x）＝excosx，则 g′（x）＝ex（cosx﹣sinx）；
当 时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当 时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
又 g（0）＝1， ， ；
第 3页（共 15页）故实数 a 的取值范围为：
【点评】本题考查不等式证明，根据函数极值个数求参数的范围，函数零点问题，考查
分离参数法，属于难题．
2．（2019 秋•汕头校级期末）已知函数 f（x）＝xcosx﹣2sinx+1，g（x）＝x2eax（a R）．
（1）证