空间几何所有证明题.docx

空间几何证明
1、如图，在正方体 ABCD A1B1C1 D1 中， E 是 AA1 的中点，
A
D
A1C // 平面 BDE 。
1
求证：
1
B1 C1
A1C 面 AB1D1
考点：线面平行的判定（利用平行四边形） ，线面垂直的判定
考点：线面垂直的判定
证明： (1) 由 B1B∥DD1，得四边形 BB1D1D 是平行四边形，∴ B1 D1∥BD，
又 BD 平面 B1D1C，B1D1 平面 B1D1C，
BD∥平面 B1D1C．
同理 A1D∥平面 B1D1C．
而 A1D∩BD＝ D，∴平面 A1 BD∥平面 B1CD．
由 BD∥B1D1，得 BD∥平面 EB1D1．取 BB1 中点 G，∴ AE∥ B1G．
从而得 B1E∥ AG，同理 GF∥AD．∴ AG∥ DF．∴ B1E∥DF．∴ DF∥平面 EB1 D1．∴平面 EB1D1∥平面
FBD．
考点：线面平行的判定（利用平行四边形）
证明：（ 1）取 PA 的中点 Q ，连结 MQ , NQ ，∵ M 是 PB 的中点，
∴ MQ // BC ，∵ CB 平面 PAB
，∴
MQ 平面 PAB
∴ QN 是 MN 在平面 PAB 内的射影
，取
AB 的中点 D ，连结
PD ，∵ PA PB, ∴ PD
AB ，又
AN 3NB ，∴ BN
ND [ 来源 : 学§科§网 ]
∴QN//PD，∴QN
AB ，由三垂线定理得 MN AB
（ 2）∵
APB
90o ， PA
PB, ∴ PD
1 AB 2，∴QN
1，∵ MQ
平面 PAB.∴ MQ
NQ ，
1 BC
2
且 MQ
1，∴ MN
2
2
考点：三垂线定理
10. 证明：∵ E 、 F 分别是 AB 、 AD 的中点， EF ∥ BD
又 EF
平面 BDG ， BD 平面 BDG
EF ∥平面 BDG
∵ D1G EB 四边形 D1GBE 为平行四边形， D1E ∥ GB
又 D1E
平面 BDG ， GB 平面 BDG
D1E ∥平面 BDG
EFD1E E ， 平面 D1EF ∥平面 BDG
考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）
证明：（ 1）设 AC BD O ，
∵ E 、 O分别是 AA1 、 AC 的中点，
A1C ∥ EO
又 AC1
平面 BDE ， EO 平面 BDE ， A1C ∥平面 BDE
（2）∵
AA1 平面 ABCD ， BD
平面 ABCD ， AA1 BD
又 BD
AC， AC AA1 A，
BD
平面 A1AC ， BD
平面