函数列及其一致收敛性.ppt

函数列及其一致收敛性§ 函数项级数一、函数列及其一致收敛性 1 2 ( ), ( ), , ( ), n f x f x f x ? ?设是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在 E上的函数列. { ( )} ( ), 1, 2, . n n f x f x n ?记为或? 0 x E ?设, 1 0 2 0 0 ( ), ( ), , ( ), . n f x f x f x ? ? 1、定义: 2、函数列的收敛 0 { ( )} n x f x 以代入得数列: 0 { ( )} n f x x 若此数列收敛,则称在收敛, 0 { ( )} n x f x 为的收敛点; 0 { ( )} n f x x 若此数列发散,则称在发散, 0 { ( )} n x f x 为的发散点; { ( )} { ( )} . n n f x E f x E 若在数集上每一点都收敛,则称在数集上收敛函数列及其一致收敛性§ 函数项级数{ ( )} { ( )} n n f x f x 使收敛的全体收敛点的集合,称为的收敛域. 3、函数列的极限的为则称有若对每一个)}({)( ),()( lim ,xfxfxfxfIx n nn????极限函数, ).( )}({xfIxf n 收敛于在区间或称?)( )}({xfIxf n 收敛于在区间.|)()(|,,0????????????xfxfNnNN Ix n有, , 对每一个例1 .)1,0(,)( 收敛证明其在设 nnxxf?,0 lim ),1,0(???? nnxx有证: 要使不等式,0??? nx?|0||)()(|??? n nxxfxf??成立, ] ln ln[, ln lnx Nx n ????取解得函数列及其一致收敛性§ 函数项级数 4、函数列的一致收敛, 收敛于极限函数在区间设函数列)( )}({xfIxf n,0 0?????NN, ?.|)()(|,,,??????????xfxfIxNnNN n有).( )}({xfIxf n 一致收敛于极限函数在区间则称函数列?)( )}({xfIxf n 非一致收敛于极限函数在区间.|)()(|,, 000 00 0???????xfxfIxNn n有,0???若例2 .)1,0(, 1)( 收敛证明其在设xn xf n??,0 1 lim ),1,0(?????xn x n有证: 要使不等式,0???xn?? 1|0 1||)()(|????xn xfxf n??成立, ] 1[, 1????Nn取解得 n 1?函数列及其一致收敛性§ 函数项级数例3 ( ) nn f x x 证明:函数列?一致收敛; 在区间)10 ](,0[)1????.)1,0[)2 非一致收敛在区间,0 lim ),1,0[????? n