高等数学3复习提纲.doc

-1- 复****提纲注意:以下出现的 Ex1 表示的对应****题中的第一题,其余表示符号类推。 1、掌握三重积分在直接坐标系下、柱面坐标系下、球面坐标系下化三次积分的方法并计算三重积分直角坐标系下: 把三重积分化为先二后一或先一后二的积分顺序,再把其中的二重积分化为二次积分,由此把三重积分化为三次积分。先一后二:先把?向某个坐标面投影得到平面闭区域 D(比如向 xOy 面投影得到 Dxy) ,再以 Dxy 的边界曲线为准线作母线平行于 z 轴的柱面,把?的边界曲面分为上下部分,其方程分别记作???? 2 1 , , , z z x y z z x y ? ?,???? 1 2 , , z x y z x y ?。则?表示为:?????? 1 2 , , , xy x y D z x y z z x y ? ??, 。再把 Dxy 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。先二后一:先把?向某个坐标轴投影得到区间 I( 比如向 z 轴投影得到[Z1,Z2]) , 再从[Z1,Z2] 上任取一点 z, 过该点作一垂直于 z轴的平面,截?得到平面闭区域 Dz ,则?表示为:?? 1 2 , z z z z x y D ? ? ?, 。再把 Dz 上的二重积分化为二重积分即得三重积分对应的三次积分。柱面坐标系下:实为直角坐标系下使用先一后二的做法时,选择 Dxy 为极坐标系,把?表示为如下形式:?????? 1 2 , , , xy D z z z ?? ????? ??, 。 Dxy 下, ??的取值范围可参照二重积分(有两种情形)。当?的边界曲面是球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面等围成或与平面围成时,可考虑使用柱面坐标系。球面坐标系下:当?的是球体或半球体或球面与锥面围成时,可考虑使用球面坐标系,其积分变量, , r ??的范围的确定请参照课堂例题。示例: 159 页例 1,例 2,例 3****题 10-3 , Ex1 , Ex4 , Ex9 , Ex10 。 2、了解曲面面积的计算公式、平面薄片的质量、质点公式,会套用公式计算。示例: 167 页例 1,例 4****题 10-4 , Ex1 , Ex5 3、掌握对弧长的曲线积分的基本计算方法,曲线质量、质心的求法 L是平面曲线时,其方程是直角坐标方程或参数方程或极坐标方程,化弧长的曲线积分为定积分的关键点:曲线方程代入被积函数进行化简;弧微分 ds 套公式化简;由曲线方程确定积分限。 L是空间曲线时,只考虑其方程是参数方程的情形,做法同上。示例****题 11-1 , Ex3 (1) , (2) , (4) , (6) , (7) , Ex4 。-2- 4、掌握对坐标的曲线积分的基本计算方法计算方法与与对弧长的曲线积分类似,区别是积分变量的积分限要考虑曲线的方向,积分下限对应于起点,积分上限对应于终点。示例: 197 页例 2,例 3****题 11-2 , E