考研辅导--线性代数--第1章行列式.doc

考研辅导《线性代数》教案-1 - 1- 第一章行列式◆基础知识概要 阶行列式的定义二阶行列式 21 12 22 11 22 21 12 11aaaaaa aa??. 32 31 23 22 21 13 12 11aaa aaa aaa 11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31 a a a a a a a a a a a a a a a a a a ? ?????. 对角线法则: n 阶行列式的定义?? 1 2 1 2 11 12 1 21 22 2 1 2 , , , 1 2 1 ... n nntn j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a ???? ?????? ????, 它是取自不同行不同列的 n 个数的乘积 1 2 1 2 ... n j j nj a a a 的代数和(共!n 项), 其中各项的符号为?? 1 t?,t 代表排列 1 2 , , , n j j j ???的逆序数,简记为?? det ija .n 阶行列式也可定义为?? 1 2 1 2 1 2 , , , 1 ... nnt i i i n i i i D a a a ???? ??,其中 t 为行标 1 2 , , , n i i i ??? 计算行列式(1) 12n????; (2) 12n????. 考研辅导《线性代数》教案-1 - 2- 练****计算下列行列式(1) 2 3 4 1 3 4 2 0 1 3 0 0 4 0 0 0 ; (2) 11 12 1 22 2 0 nnnn a a a a a a ??????????(上三角形行列式); (3) 11 21 22 1 2 0 n n nn a a a a a a ??? ???????(下三角形行列式) . 2. 行列式的性质与计算 行列式的性质(1 )行列式与其转置行列式相等; (2 )互换行列式的某两行(列) 得到新行列式则新行列式应反号; 特别地:若行列式中有两行(列) 对应元素相等,则行列式等于零; (3 )行列式中某一行(列) 的所有元素的公因数可以提到行列式的外面; 即以数 k 乘以行列式等于用数 k 乘以行列式的某一行或某一列; 特别地:若行列式中有一行(列) 的元素全为零,则行列式等于零; (4 )行列式中如果有某两行(列) 对应元素成比例,则行列式的值为零; 特别地:比例系数为 1 (5 )若行列式的某一列(行)的元素是两数之和,例如,第 i 列的元素都是两数之和:?????? 11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a ???? ???????? ???????? ??????????????????? ????, 则D 等于如下两个行列式之和: 考研辅导《线性代数》教案-1 - 3- 11 12 1 1 11 12 1 1 21 22 2 2 21 22 2 2 1 2 1 2 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a ???? ??? ?????????? ??? ??????? ???? ????????????????????????????????????? ??? ??????. (6) 把行列式的某一行(列) 的各元素的 k 倍加到另一行(列) 的对应元素上, :(1 )交换行列式的第, i j 两行(或列) ,记作 i i r