高考复习指导讲义三角、反三角函数.doc

中国特级教师高考复****方法指导〈数学复****版〉中国教育开发网高考复****指导讲义第二章三角、反三角函数一、考纲要求 1. 理解任意角的概念、弧度的意义,能正确进行弧度和角度的互换。 2. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义, 了解余切、正割、余割的定义, 掌握同角三角函数的基本关系式,掌握正弦、余弦的诱导公式,理解周期函数与最小正周期的意义。 3. 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 4. 能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简,求值和恒等式的证明。 5. 了解正弦函数、余弦函数, 正切函数的图像和性质, 会用“五点法”画正弦函数, 余弦函数和函数 y=Asin(wx+ ?) 的简图,理解 A、w、?的物理意义。 6. 会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx 、 osx 、 arctgx 表示。 7. 掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形,能利用计算器解决三角形的计算问题。 8. 理解反三角函数的概念, 能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质, 能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。 9. 能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。二、知识结构 1. 角的概念的推广: (1) 定义:一条射线 OA 由原来的位置 OA ,绕着它的端点 O 按一定方向旋转到另一位置 OB ,就形成了角α。其中射线 OA 叫角α的始边,射线 OB 叫角α的终边, O 叫角α的顶点。(2) 正角、零角、负角:由始边的旋转方向而定。(3) 象限角:由角的终边所在位置确定。第一象限角: 2kπ<α< 2kπ+2 ?,k∈Z 第二象限角: 2kπ+2 ?<α< 2kπ+π,k∈Z 第三象限角: 2kπ+π<α< 2kπ+2 3?,k∈Z 第四象限角: 2kπ+2 3?<α< 2kπ+2π,k∈Z (4) 终边相同的角:一般地,所有与α角终边相同的角,连同α角在内( 而且只有这样的角) ,可以表示为 k· 360 °+α,k∈Z。(5) 特殊角的集合: 终边在坐标轴上的角的集合{ α|α=2 ?k ,k∈Z} 终边在一、三象限角平分线上角的集合{ α|α=kπ+4 ?,k∈Z} 终边在二、四象限角平分线上角的集合{ α|α=kπ-4 ?,k∈Z} 终边在四个象限角平分线上角的集合{ α|α=kπ-4 ?,k∈Z} 2. 弧度制: (1) 定义:用“弧度”做单位来度量角的制度,叫做弧度制。(2) 角度与弧度的互化: 1°=180 ?弧度, 1 弧度= (? 180 )° 中国特级教师高考复****方法指导〈数学复****版〉中国教育开发网(3) 两个公式: (R 为圆弧半径, α为圆心角弧度数)。弧长公式: l=|α|R 扇形面积公式: S=2 1 lR=2 1 |α|R 2 3. 周期函数: (1) 定义:对于函数 y=f(x) ,如果存在一个非零常数 T ,使得 x 取定义域内的任意值时,都有 f(x+T)=f(x) ,那么函数 y=f(x) 叫做周期函数,其中非零常数 T 叫做这个函数的一个周期,如果 T 中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做这个函数的最小正周期。(2) 几个常见结论: ①如果 T 是函数 y=f(x) 的一个周期,那么 kT(k ∈Z ,且 k≠ 0) 也是 y=f(x) 的周期。(1) ②如果 T 是函数 y=f(x) 的一个周期,那么? T 也是 y=f(wx)(w ≠ 0) 的周期。③一个周期函数不一定有最小正周期,如常函数 y=f(x)=c 。 4. 三角函数定义: (1) 定义:设α是一个任意大小的角, P(x , y) 是角α终边上任意一点,它与原点的距离| PO| =r, 那么角α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余弦分别是 sin α=r y ,cos α=r x ,tg α=y r ,ctg α=y x ,Sec α=r x ,csc α=r y ( 如图(1)) 。(2) 六个三角函数值在每个象限的符号: ( 如图(2)) (3) 同角三角函数的基本关系式: 倒数关系: sin α· csc α=1,cos α· sec α=1,tg α· ctg α=1 商数关系: tgα=?? cos sin ,ctg α=?? sin cos 平方关系: sin 2α+cos 2α=1,1+tg 2α=sec 2α,1+ctg 2α=csc 2α(4) 诱导公式: α 2kπ+α-απ-απ+α2π-α2 ?-α2 ?+α正弦 sin α-sin α sin α-sin α-sin α cos α cos α余弦 cos α cos α-cos α-cos α cos α sin α-sin α正切 tgα-tg α-tg α tgα-tg α ctg α-ctg