抽象函数奇偶性的判定.doc

例析抽象函数奇偶性的判定及应用湖南省张家界市武陵源一中高飞颜建红电话 ********** 邮编: 427400 抽象函数问题是指没有给出解析式, 只给出一些特殊条件的函数问题, 一般以中学阶段所学的基本函数为背景, 构思新颖, 条件隐蔽, 技巧性强。解法灵活, 因此它对发展同学们的抽象思维, 培养同学们的创新思想有着重要的作用。下面就抽象函数奇偶性及应用问题举例分析,供大家参考。 1. 函数?y f(x) ,满足 Rxx?? 21, 都有 f(x 1 +x 2 )= f(x 1 )+ f(x 2 )-3, (1 )判断函数 f(x)- 3 的奇偶性并予以证明⑵若 f(x) 最大值为 M ,最小值为 m ,求 M+m 分析; 恰当赋值,用定义可证奇偶性,应用奇偶性可求 M+m 解析;令,0 21??xx 则 f(0+0)= f(0)+ f(0)-3 得?? 30?f ,令xxxx??? 21, 则 f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3 得 f(x)+ f(-x)=6 ,令???? 3??xfxg 则???????? xgxfxfxg????????33 所以 f(x)-3 为奇函数。⑵?? 3 max??Mxg ,?? 3 min??mxg ,?? xg?为奇函数图像关于原点对称?? 03xgM???,?? 03xgm???所以6??mM 点评: 奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法,恰当赋值找出 f(x)+ f(-x)=6 是关键 2, 函数?y f(x) , 满足),()()(,,abfbafab fRba???(1)求)1( ),0(ff 的值,⑵判断并证明 f(x) 的奇偶性解析;令,0??ba 则?? 00?f ,令1??ba 则?? 01?f ⑵???????? 111????ff =?????????? 121111??????????fff 得?? 01??f 再令?????????? xffxxfxfxba?????????????11,1 ,所以 f(x) 为奇函数点评:要判断 f(x) 的奇偶性必先求出?? 1?f ,而把 1 写成???? 11???是关键 3, 定义在 R 上的函数?y f(x) 满足),2()2(xfxf???且在?? 7,0 上只有 0)3()1(??ff ,判断 f(x) 的奇偶性并说明理由解 析; ? f(x) 在?? 7,0 上 只有 0)3()1(??ff 令3?x 则???????? 0532321???????ffff 所以???? 11ff??,???? 11ff???所以 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数。点评: 判定一个命题不成立,只需举出反例即可。 4, 已知定义在 R 上的函数?y f(x) 满足条件???? xfxf??? 2 3 ,且函数?y?? 4 3?xf 是奇函数,判断?y f(x) 的奇偶性并说明理由解析;因为?y?? 4 3?xf 是奇函数,所以????? 4 3xf?? 4 3??xf ,用 x 替代 4 3?x 得????? 2 3xf?? xf?又???? xfxf??? 2 3?????? 2 3xf?? 2 3?xf???? xfxf???所以 f(x) 为偶函数 5, ( 重 庆卷) 定 义在 R 上 的函数?y f(x) 满足:??,1 4