曲线曲面拟合.ppt

非线性回归分析(曲线曲面拟合) 顾世梁 2008 年10月 1 非线性回归分析的任务非线性关系是最普遍的变数间量化关系,合适的非线性回归分析对研明变数间的数量关系有重要作用。非线性回归分析的广泛应用,将促使试验研究从定性向定量发展,由粗放向精细发展。线性关系形式单一,而非线性关系多种多样,选择合适的非线性模型并非易事。多项式也是一种(简单的一种)非线性关系,先前已有论述,本章仅讨论多项式以外的纯非线性关系。对于纯非线性回归分析,非线性回归统计数的估计、假设测验等均有很大难度。 bx? y ae ? b? y ax ? a bx ?yx ?? 2 exp( ) ? y ax bx cx ? ? 1 exp( ) K ?y a bx ?? ?(1 exp( )) mK ?y a bx ?? ?( ) ? y f x,b f ? ? 2 2 2 2 2 2 5 1 2 1 7 2 1 2 ( ) [ ( 1) ] [ ( 1) ] 2 3 5 1 2 1 3 4 1 1 2 6 ?(1 ) ( ) bx x x b x x x Y b b x e b bx x x e be ? ? ???? ??? ?? ???? 2 3 1 2 3 4 2 3 5 6 7 ?1 b b x b x b x Y b x b x b x ? ???? ??非线性回归分析的主要任务有下列 4 项: 1) 建立合适的非线性模型; 2) 估计非线性方程的统计数——曲线曲面拟合; 3) 合理的显著性测验; 4) 方程的进一步利用(插值与外推)。 2 非线性回归方程的选择主要有 3种方法: 1)解微分和偏微分方程组? 1 e x p ( ) ky a b x ?? ?' dy GR y dx ? ? yyy GR/'/? dsolve( ‘Dy+y +c’, ’…’)y= dsolve( ‘ Dy-b * y+c * y^2 ’,’ y(0)=k/(1+a) ’) syms c b k; y= subs(y,c b/k ); pretty(y ) cy b RGR ?? 2 '/ , 0 y y b cy y by cy ?? ? ???( ) y f x,b ? 2)根据机理或基本数量关系推导每一种函数关系都有一些基本特点,可以根据这些基本要素确定不同的方程。这些基本要素如零点( 初值点) 、峰值点(极大、极小)、拐点、渐近点等,应符合数据事实。? b y ax ?? bx y ae ? 3) 试算、比较与选择当变数间的可能关系所知甚少,可对不同方程进行试拟合,比较分析后选出最佳关系模型。除了前述的关键点数据应与曲线、曲面有好的吻合外, 也应保证数据在前、中、后段都能较好地拟合;另外也应保证较高的拟合度(决定系数)、较小的离回归平方和以及较好的插值和外推。通常,较少参数的曲线刚性有余、柔性不足, 而参数较多的方程有较大的柔性。但参数太多往往会过参数化( over-parameterization ),拟合的难度大大增加。 3 参数估计 2 2 1 1 ?( ) ( ( | )) n n i i i i i i Q Y Y Y f X b ? ?? ???? ?目标函数: 当给定 X i与Y i(i =1,2, …,n)时, Q也是 b的函数: Q=F(b)。拟合即为寻找β opt = min (F(b)) 的过程。发展稳定高效实现全局最优拟合的算法是非线性回归的关键,难度较大。 1)线性化法对一些简单的方程,我们可以采用数据转换的方式将其化成线性方程,然后用一元或多元线性回归的方式进行分析。如: 2 2 1 1 2 2 12 1 22 2 1121 1 2 ? Y =a+b X +b X +b X +b X +b X X ?? ln ln bX Y ae Y a bX ? ??, bX aY??'' ? 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ? Y =a+b X +b X +b X +b X