循环群,子群.ppt

In our classes, all the mobile phones should be switched off ! 上课啦! The class is begin! 二、群中元素的阶?前面已介绍了群的阶: |G|=G中所含元素的个数。下面利用单位元 e,引入另一个新概念。??(1)定义?设G为群,而 a?G. 如果有整数 k,使 a k =e ,那么使这个等式成立的最小正整数 m叫做 G的阶,记为|a|=m .如果这样的m不存在,则称 a的阶是无限的,记为|a|=+ ∞。?(2)阶的计算方法?按照定义寻找使成立的最小正整数。?例1乘法群 Z 5*= {[1], [2], [3], [4]} 中, [1] 是单位元,显然|[1]|=1 ,而[2] 12 =[2] 8 =[2] 4 =[1] ,?|[2]|=4 ,同理知|[3]|=4 , |[4]|=2 。?例2加法群<Z 5 ,+ >= {[0], [1], [2], [3], [4]} 中, [0] 是单位元, ?例3加法群< Z,+ >中, 0是单位元。?|0|=1 ,而其它元素 a, |a|=+ ∞。?例4乘法群< R * , ? > 中, 1是单位元, ?|1|=1 , |-1|=2 ,而其它元素的阶都是无限。 5]4[,5]3[,5]2[,5]1[,1]0[???????说明加法群< G,+ >中,元素的阶的定义自然需做相应的变化: 设a?G,能够使 ma= 0的最小正整数 m叫做 a的阶,若这样的m不存在,则称 a的阶是无限的, a的阶仍记为|a|。?例5设 G= {? 0, ? 1, ? 2}是由 x 3=1的三个复根组成的集合,而 G中的代数运算“○”是通常的乘法,那么<G , ○>必为一个乘法群****惯上记为 G 3,叫做 3次单位根群。 31,2 31,1 2 10?????????????证事实上?(1) ?(2)结合律显然成立(因为复数集 C中满足结合律) . ?(3)? 0 =1 是G中的单位元. ?(4)? 0的逆元是? 0,? 1与? 2互为逆元. ?所以<G , ○>为一个乘法群。不仅如此,我们还知: ?例6在非零有理数乘群 Q*中, 1的阶是 1, -l的阶是 2,其余元素的阶均无限. ?例7在4次单位根群 G ={1, -1, i, -i}中,1的阶是 l, -l的阶是 2,i与-i的阶都是 4. .111)(,, 333G G jijijiji????????????????。 3,1 210?????? ?性质 1设G是群,那么?a?G,若存在 m?Z +,使 a m =e ?|a|? m(可知 a的阶是有限的)。证明由于 a m =e ,这本身说明|a|<+∞,令|a|=k , 若 k > m,则与元素的阶的定义矛盾,故知 k ?m。?性质 2设a?G, 且若存在 m?Z +使a m =e ?|a|=n <+∞, 且 n|m (但不能保证 n=m )。证明由整数的带余除法知,?g,r ?Z使 m=ng+r , r= 0或者 0< r<n. 如果 r≠0,那么 e=a m =a ng+r =a nga r=(a n) ga r =(e) ga r =a r矛盾(∵r<n); ? r= 0? m=ng ? n|m . ?性质 3设a?G且|a|=n ,那么 n|m ?a m =e . 证明“?”正是性质 2. “?”?性质 4 设群 G中元素 a的阶是 m,则|a k |=m /(m,k),其中 k为任意整数. 证明首先,设( k,m ) =d ,且 m=dm 1, k=dk 1,(m 1,k 1 )=1, 则由于|a|=m ,就有,即其次,设(a k) n =e ,则a kn =e .于是由性质 1, m|kn ,从而 m 1 |k 1n, 但(m 1,k 1)=1,故m 1 |n,因此, a k的阶是 m 1,所以|a k |= m 1 =m /(k,m). ng mmn?????.eeaaa g gnng m????? 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) m km dk m mk k k m a a a a a e ? ???? 1 ( ) mk a e ??说明若有[m,n]的约数 h,使[m,n ]=hk,则可得|c k |=h ,于是结论( 3)又可以改为: 对[m,n]的任一正因数 h,G中有阶是 h的元素。?性质 9群的元素和它的逆元有相同的阶. 证明