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第二型曲线曲面积分的计算方法 PB07210153 刘羽第二型曲线曲面积分与第一型曲线曲面积分相比有明显不同的几何意义和物理意义,第一型曲线曲面积分分别可以看成是定积分与二重积分的更一般情况,其意义较易理解,计算也相对比较简单。而第二型曲线曲面积分又称为对坐标的积分,具有第一型不具有的方向性,计算较为复杂,物理意义十分明显,分别是变力沿曲线做功和向量场过曲面的通量,这在物理学上有重要的应用,与格林定理,斯托克斯定理,高斯定理紧密相关,是微积分中的重点和难点,以下简单介绍第二型曲线曲面积分的常用计算方法。 F Pi Qj Rk ? ???? ???,??是曲线 L上指向指定方向的单位切向量,则称形式积分 L L Pdx Qdy Rdz F dl ?? ??? ?????为第二型曲线积分,右端是 F ?????在 L 上第一型曲线积分。这里要理解??的方向性, dx i dl ?????是有向曲线微元 dl??在 Ox 轴方向投影,dx 可正可负(与定积分不同),这正是第二型曲线积分具有方向性的原因。计算第二型曲线积分的方法主要有定义法,参数法,利用性质以及利用 Green 公式和 Stokes 公式。( 1)定义法当已知或易于表达时,可考虑用定义法,一般用得较少。( 2)参数法参数法是计算第二型曲线积分最常用的方法,将其转化为定积分,应用时要特别注意上下限的确定(根据所给的方向而不是大小)。设有向曲线 L 的参数方程为 x=x(t),y=y(t),z=z(t), 其起点对应 t=a ,终点对应 t=b ,则 L Pdx Qdy Rdz ? ???[ ( ( ), ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( )) '( ) ( ( ), ( ), ( )) '( ) ] ba P x t y t z t x t Q x t y t z t y t P x t y t z t z t dt ? ??计算时只要将所有量(包括微分量)用参数变量表示出来即可,不需记忆此式。例 1 求曲线积分 L ydx zdy xdz ? ??, 其中 L是2 x y ? ?与 2 2 2 2( ) x y z x y ? ???的交线,从原点看去是逆时针方向。解:在曲线 L满足的方程组中消去 y并化简得 2 2 2( 1) 2 x z ? ??,可知 L在 Oz x 平面上的投影曲线是椭圆 2 2 2( 1) 2 x z ? ??,注意到坐标原点在平面 2 x y ? ?的 x ???的一侧,所以从 x轴正方向看曲线是顺时针方向。设 2 cos , 1 sin , 2 1 sin , 0 2 z t x t y x t t ?? ????????,且其方向是参数减少方向,从而 L ydx zdy xdz ? ??? 02 [(1 sin ) cos 2 cos ( cos ) (1 sin )( 2 sin )] t t t t t t dt ??