追击 分圆 解答.doc

追击问题解答问题重述日本一舰艇侵入我东海海域, 被我海军巡逻艇发现后以全速 1v 逃往公海。我海军巡逻舰在日舰侧后方以全速)( 122vvv?追击, 追击方向直指日舰。设开始时日舰在 A),( 00yx 处,我舰在原点 O 处。日舰沿平行于 y 轴直线向北逃窜。在如下数据下 3,1 21??vv (公里/ 分钟), 20 , 10 00??yx (公里) ,求出我舰追上日舰的时间和地点。并画出我舰追击的路径。问题解答 1 模型的建立我舰的轨迹 y=y(x) ,并设经过时间 t, 我舰位于( ( ), ( )) P x t y t , 日舰位于 0 0 1 ( , ) Q x y v t ?, PQ 就是我舰的运动轨迹在点 P 处的切线。因此有 0 10xx tvyydx dy????即 1 0 0 ( ) v t x x y y y ?? ??? OP 弧的长度为: 201 x s y dx ?? ??又根据题意, 弧OP的长度为线段AQ 长度的 21vv 倍。即 O A P Q 22 0 0 01 1 [( ) ] xv y dx x x y y y v ? ?? ?????整理得微分方程: 12 0200 ( ) 1 0 (0) 0, (0) v x x y y vy y y x ??? ?? ????????? ??? 2 追击问题的数值解首先将此问题表达为等价的一阶微分方程组, 建立此问题的参数方程。设在任意时刻 t ,日舰的坐标为( ( ), ( )) X t Y t ,我舰的坐标为( ( ), ( )) x t y t 。(1 )设我舰的速度恒为 2v ,则 22 22)()(v dt dy dt dx??( 2 )由于我舰的前进方向始终对准日舰,故我舰的速度向量平行于两舰的位置所构成的向量,即: , 0 dx X x dt dy Y y dt ? ?? ??? ??? ??? ?? ??? ?? ?? ?? ?故 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) dx dy X x Y y dt dt ?? ?? ?????? ?将( 1 )中关系代入上式求得?,进而得到 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dx v X x dt X x Y y dy v Y y dt X x Y y ?? ??? ?????? ??? ???因日舰以速度 11v?沿直线 10 x?运动,有 010 X x ? ?, 0 1 20 Y y v t t ? ??