2012年硕士研究生入学考试初试考试大纲.doc

20 12 年硕士研究生入学考试初试考试大纲科目代码: 601 科目名称:高等代数适用专业:数学参考书目:《高等代数》(第三版)北京大学数学系编,高等教育出版社, 2003 考试时间: 3小时考试方式:笔试总分: 150 分考试范围: 一、多项式 1. 多项式的带余除法及整除性; 2 .多项式的因式分解、最大公因式、互素和重因式; 3. 不可约多项式的判定和性质; 4 .多项式函数与多项式的根; 5. 复系数与实系数多项式的因式分解,有理系数多项式。二、行列式 1 .行列式的定义及性质; 2. 行列式按一行(列)展开; 3 .运用行列式的性质及展开定理等计算行列式。三、线性方程组 1 .线性方程组的求解和讨论; 2 .线性方程组有解的判别定理; 3 .线性方程组解的结构及其解空间的讨论。四、矩阵 1 .矩阵的基本运算、矩阵的分块; 2 .矩阵的初等变换、初等矩阵; 3. 矩阵的等价、合同、相正交相似; 4 .逆矩阵、伴随矩阵及其性质; 5 .矩阵的秩,矩阵乘积的行列式与秩; 6. 运用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵; 7. 矩阵的特征值与特征向量,对角化矩阵。五、二次型 1 .二次型及其矩阵表示; 2. 二次型的标准形与合同变换; 、R、Q上二次型标准形与规范形; 4 .正定二次型及其讨论。六、线性空间 1 .线性空间、子空间的定义与性质; 2. 向量组的线性相关性、极大线性无关组; 3. 线性空间的基、维数、向量关于基的坐标,基变换与坐标变换; 4. 生成子空间,子空间的和与直和、维数公式; 5. 线性空间的同构。七、线性变换 1 .线性变换的定义、性质与运算; 2. 线性变换的矩阵表示; 3 .线性变换的核、值域的概念; 4. 线性变换及其矩阵的特征多项式、特征值和特征向量的概念和计算、特征子空间; 5 .线性变换的不变子空间。八、欧式空间 1 .内积与欧氏空间的定义及性质,向量的长度、夹角、距离,正交矩阵; 2. 正交子空间与正交补; 3 .欧氏空间的度量矩阵、标准正交基、线性无关向量组的 Schmidt 正交化方法; 4 .正交变换与正交矩阵的等价条件,对称变换的概念与性质; 5 .实对称矩阵的正交相似对角化的求法。样题: 三、(15 分)设A 是 m n ?实矩阵,证明: ( ) T rank A A rankA ?。四、( 15分)计算下列各题(1)设, , A B C 都是行列式值为 2 的3 阶方阵,求 12 ( ) 3 O A B C ??。( 8分) (2)设 30A?,求 2 1 ( ) E A A ?? ?。( 7分) 五、( 15分)设A 为n 阶正定矩阵,B 为n 阶实反对称矩阵,证明: 2 A B ?为正定矩阵。一、( 15分)设( ) f x 是一个整系数多项式,证明:如果(0) f 与(1) f 都是奇数, 则( ) f x 不能有整数根。二、( 15分)设四元齐次方程组(Ⅰ)为 1 2 3 1 2 3 4 2 3 0 2 0 x x x x x x x ? ????? ????,又已知另一个四元齐次线性方程组(Ⅱ)的一个基础解系为: 1