5.3 定积分的计算方法.ppt

2017 年2月21日星期二 1 返回上页下页目录第三节定积分的计算分法第五章二、定积分的分部积分法不定积分一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法 2017 年2月21日星期二 2 返回上页下页目录一、定积分的换元法证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在, 且它们的原函数也存在.,)()(的一个原函数是设xfxF 是的原函数,因此有则? baxxfd)()()(aFbF??)]([??F?)]([??F?tfd][????)(t?)(t??][F)(t?][f)(t?)(t?? 2017 年2月21日星期二 3 返回上页下页目录 1) 当?< ?, 即区间换为, 时],[??定理 1 仍成立. 2) 必需注意换元必换限, 原函数中的变量不必代回. 3) 换元公式也可反过来使用, 即))((tx??令 xxf bad)(??或配元][????f)(t?)(dt?配元不换限 tfd][???)(t?)(t?? tfxxf bad][d)(?????)(t?)(t??tfd][???)(t?)(t??说明:2017 年2月21日星期二 4 返回上页下页目录 1 π 0 1 3 3 3 4 2 0 1 0 0 1 1 cos sin d d d . 4 4 x x x t t t t t ? ??? ???? ?? ?? ??解法二ππ π 2 3 3 4 2 2 0 0 0 1 1 cos sin d cos dcos cos . 4 4 x x x x x x ? ??? ???? ?? ?? ?这一解法没有引入新的积分变量,计算时,原积分的上、下限不要改变,对于能用“凑微分法”求原函数的积分,应尽可能用解法二的方法. 2017 年2月21日星期二 5 返回上页下页目录).0(d 0 22??? axxa a解:令, sin tax?则,d cos dttax?;0,0??tx时当., 2 ???tax时∴原式=2att ad)2 cos 1(2 20 2????)2 sin 2 1(2 2tt a??0 2 ?4 2a??? 20 ?ttd cos 2 22xay??x o ya S且例2计算 2017 年2月21日星期二 6 2 40xx x???解:令,12??xt 则,dd,2 1 2ttx tx???,0时当?x ,4时??t ∴原式=ttt td 2 31 2 1 2???ttd)3(2 1 31 2???)33 1(2 1 3tt??1 33 22 ?;1?t 且例3 (补充题) 计算 2017 年2月21日星期二 7 返回上页下页目录例4 (补充题) 计算 3 5 0 sin sin . x xdx ???解: 3 5 ( ) sin sin f x x x ? ???? 32s cos inxx? 3 5 0 sin sin x xdx ?? ???? 32 0os sin cxxdx ????? 2 32 0ss in co x dx x ????? 3 2 2 sin ( cos ) x x xd ??????? 320 2 sin sinx x d ????? 32 2 sin sinx x d ?????? 20 522 sin 5 x ???? 2 522 sin 5 x ???.5 4? 2017 年2月21日星期二 8 返回上页下页目录,],[)(aaCxf??设证: (1) 若,)()(xfxf?????? aaaxxfxxf 0d)(2d)(则???xxf aad)( (2) 若,)()(xfxf???0d)(??? aaxxf则xxf ad)( 0??xxf ad)( 0??ttf ad)( 0???xxf ad)( 0??xxfxf ad])()([ 0????,d)(2 0xxf a?时)()(xfxf??时)()(xfxf???,0 偶倍奇零 tx??令?例