数分选讲讲稿第34讲.doc

1 讲授内容备注第三十四讲§ 隐函数存在定理对方程( , ) 0 F x y ?而言,隐函数存在定理是: ( , ) F x y 满足 01 0 0 0 0 ( , ) 0, ( , ) 0 y F x y F x y ?? ?; 02 ( , ) F x y 及( , ) y F x y ?在 0 0 ( , ) x y 的某邻域内连续, 则方程( , ) 0 F x y ?在 0 0 ( , ) x y 的邻域里确定了唯一的隐函数. 具体来说,即 0, 0 ? ?? ? ?,及函数( ) y y x ?,满足: i) 0 0 ( ) y y x ?; ii)?? 0 0 , ( ) 0, ( ) , ( , ) F x y x y x y x U x ? ?? ???其中?? 0 0 ( , ) || - | U x x x x ? ?? ?; iii)满足条件 i)、 ii)的函数( ) y x 是唯一的; iv) ( ) y y x ?在 0 ( , ) U x ?内连续. 若附加条件: ( , ) x F x y ?在 0 0 ( , ) x y 的邻域内连续, 则( ) y x ?存在, 且( , ) ( ) ( , ) xy F x y dy y x dx F x y ??? ???. 例1给定方程 2 sin( ) 0 x y xy ? ? ?( ) A 1) 说明在点(0, 0) 的充分小的邻域内,此方程确定唯一的、连续的函数( ) y y x ?,使得(0) 0 y?; 2)讨论函数( ) y x 在0x?附近的可微性; 3)讨论函数( ) y x 在0x?附近的升降性(单调性); 4)在点(0, 0) 的充分小的邻域内,此方程是否确定唯一的单值函数( ) x x y ?,使得(0) 0 x??为什么? 3学时注:定理的条件只是充分条件, 而不是要条件. 2 解1) 2 ( , ) sin( ) F x y x y xy ? ?? 01 (0, 0) 0 F?, ( , ) 1 cos( ), (0, 0) 1 y y F x y x xy F ? ?? ? ?; 02 显然( , ) F x y 及( , ) y F x y ?在(0, 0) 的邻域内连续, 由隐函数存在定理, ( , ) 0 F x y ?在点(0, 0) 的某邻域内存在唯一隐函数( ) y y x ?,连续, (0) 0 y?. 2) ( , ) 2 cos( ) x F x y x y xy ?? ?也在(0, 0) 的邻域内连续, 所以函数( ) y y x ?的导数存在,且( , ) 2