第三章一元函数导数的应用 学习指导书.doc

第三章一元函数导数的应用教学与考试基本要求: 1. 理解三个中值定理(罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理) ,会用它们证明不等式及零点问题; 2. 会灵活运用罗必达法则求未定式的值; 3. 会用导数符号判断函数的单调性、凹凸性并会求函数的极值、最值与拐点; 微分学中值定理一、主要内容回顾罗尔定理若函数)(xf 在],[ba 上连续,在),(ba 内可导且)()(bfaf?,则在),(ba 内至少有一点 c ,使得 0)(??cf 。注: c 是函数)(xf ?的零点。拉格朗日中值定理若函数)(xf 在],[ba 上连续,在),(ba 内可导,则在),(ba 内至少有一点 c ,使得) )(()()(abcfafbf????。推论 1 若函数)(xf 在区间 I 上恒有 0)(??xf ,则在 I 上CCxf()(?为常数) 推论 2 若在区间 I 上恒有)()(xgxf ???,则在 I 上CCxgxf()()(??为常数) 柯西中值定理若函数)(xf ,)(xg 满足: ⑴在],[ba 上连续; ⑵在),(ba 内可导; ⑶在),(ba 内 0)(??xg ,则在),(ba 内至少存在一点 c ,使得)( )()()( )()(cg cfagbg afbf?????二、基本题型及例题题型 1 选择题下列函数中,在[-1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是( C) Axey? Bxy? C2xy? Dxy arctan ?题型 2 填空题函数 xxf arctan )(?在[-1,1] 上满足拉格朗日中值定理的点是 1 4??题型 3 证明题(1) 证明:当 0?x 时,xxx x??? arctan 1 2 2 。(2) 证明方程 01 5???xx 只有一个正根。(3) 证明:若函数)(xf 在),( ????内满足关系式 xexffxfxf????)(,1)0()()(则且。证(1 )令 xxf arctan )(?,则)(xf 在],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件, 所以)0()0(1 10 arctan arctan 2xcxc x??????即xc x 21 1 arctan ??而11 11 1 22????cx 故xxx x??? arctan 1 2(2)设1)( 5???xxxf ,033 )2(,01)0(?????ff , 由零点定理知,方程在(0,2) 内至少有一个根。又假设方程有两个根)(, 2121xxxx?,则0)()( 21??xfxf , 由罗尔定理知在),( 21xx 内至少有一点 c ,使 0)(??cf 。但015)( 4????xxf 。假设错误。故结论成立。(3)设xe xfxF )()(?,则0 )()()( 2????? x xxe exfexfxF 由推论 1知CxF?)( 又1)0(?F 知1?C ,即 1 )(? xe xf , 故xexf?)( 三****题选解****题 3-1 教材 113P [1 ,3] 上连续,在(1 ,3) 内可导, 0)3()1(??ff , 令0 11 12 3)2 )(1()3 )(1()3 )(2()( 2??????????????xxxxxxxxxf 得3 366 11 3412 12 2???????x 因为23 361???33 362???0)(?xf 在[1,3] 上有两个根。所以罗尔定理成立。 )(xxf??在[0,3] 上连续,在(0,3) 内可导,即满足拉格朗日中值定理的条件。令33 19103 )0()3(2)(??????????? ffxxf , 得)3,0(2 3??x 拉格朗日定理成立。 3 .由柯西公式得233 223 212 12c c???解得 9 14 ?c ?????????????bxxf baxxf axxfxF bx ax)( lim ),()( )( lim )( , 则)(xF 在],[ba 上满足拉格朗日中值定理条件, 在),(ba 内至少有一点 c ,使得 ab aFbFcF????)()()( 。由假设知结论成立。 罗必塔法则一、主要内容回顾罗必塔法则设⑴0)( lim ,0)( lim ????xgxf axax⑵)( ),(xgxf 在a 的某去心邻域), ?(?a?内可微,且 0)(??xg , ⑶)( )( lim xg xf ax???存在(或为无穷大), 则)( )( lim )( )( lim xg xfxg xf axax?????注: ①?? x 时上面公式仍成立。②ax?或?? x ,????)(,)(xgxf 时,上面公式仍成立。③法则可以连续使用。④当)( )( lim xg xf??不存在或不为?时,不能依此推出)(