常微分方程1.doc

常微分方程试卷(一至十) 试卷(一) 一、填空题( 3 ′× 10= 30′) 1、以 y 1= e 2x, y 2 =e x sinx , y 3 =e x cosx 为特解的最低阶常系数齐次线性微分方程是。 2 、微分方程 4x 3y 3 dx+3x 4y 2 dy=0 的通积分是。 3 、柯西问题 xdx dy?, y( 0) =1 的解是。 4 、方程 ydx-xdy=0 的积分因子可取。 5 、证明初值问题的毕卡定理所构造的毕卡序列是。 6、微分方程 F(x , y, p)=0 若有奇解 y=?(x) ,则 y=?(x) 满足的 P- 判别式是。 7 、线性微分方程组 YxAdx dY)(?的解组 Y 1(x),Y 2(x)…,Y n(x) 在某区间上线性无头的充分必要条件是。 8 、设 A= ,则矩阵指数函数 e xA=。 9 、方程 0??????yyy 的通解是。 10 、由方程 033??????????yyayay 的通解是。二、解下列各方程( 7 ′× 4= 28) 1 、求方程 3 1?????yx yxdx dy 的通解: 2、 1010 -10002 (1+x 2 )y〞=2xy ′3)(,1)(???oyoy 3、 621yxyxdx dy?? 4、 xexyyy 2)53(23???????三、求单参数曲线族 xy=c 的正交轨线族( 10′) 四、解微分方程组( 12′) ?dx dY Y 五、设二阶方程 044 2??????yyxyx 有特解 y 1 (x)=x ,求此方程的通解(8′) 六、有一容积为 10000m 3 的车间。车间的空气含有 % 的 CO 2, 今用一台风量为 1000m 3 /min 的鼓风机通入新鲜空气,新鲜空气中含有 % 的 CO 2, 向鼓风机开动 10min 后, 车间内 CO 2 的百分比降到多少? ( 12′) 310 -4 -104 -8 -2 试卷(二) 一、填空题( 3 ′× 10= 30′) 1 、微分方程组的阶数是。 2、以y 1=e x ,y 2 =xe x ,y 3 =e 2x xin2x 为特解的最低阶实常系数齐次线性微分方程是。 3 、初值问题 x ydx dy?,y(1) =1 的解是。 4 、微分方程 sinydx+cosydy=0 的通积分是。 5 、设曲线 T: y=y(x) 是单参数曲线族 V(x,y,c) =0 的一支包络, 则它满足的 C- 判别式是。 6 、证明一阶方程初值问题解的存在性的毕卡定理时,第一步证明与所论初值问题 ooyxyyxfdx dy??)( ),,( 等价的积分方程是。 7 、线性微分方程组 YxAdx dY)(?的解组 Y 1(x),Y 2(x),…,Y n(x)在某区间上线性相关的充分必要条件是。 8 、设 A= ,则矩阵指数函数 Axe = 9 、方程 023??????yyy 的通解是。 10 、方程 075??????yyy 的通解是。二、解下列微分方程( 7 ′× 4= 28′) 1、yx yxdx dy2 2??? 2、 y 1〞+y 2′+xy 2 =0 y 2〞+y 1′+xy 1 =0 -200020003?? 1)(?y xy dx dyx sin 2?? 3、)2(2)3( 222y xyxdx dy yx???? 4、y〞-2y ′+2y=4e x cosx 三、求单参数曲线族 x 2 +c 2y 2 =1 的正交轨线( 10′) 四、解方程组?dx dY Y+ 五、设微分方程 0)(?????yxpy 有一特解 y=e x ,试求此方程的通解,并确定函数 P(x)(8′) 六、某社会的总人数为 N ,当时流行一种传染病,得病人数为 x ,设传染病人数的扩大率与得病人数和未得病人数的乘积成正比, 试讨论传染病人数的发展趋势, 并以此解释对传染病人隔离的必要性( 10′) 21 -2 -10011 -1 2 -x0 1-x 试卷(三) 一、填空题( 3 ′× 10= 30′) 1 、已知一个最低阶齐次线性方程有特解 y 1 =e 3x,y 2 =3e 3x ,y 3 =2e -x,则此方程的通解为。 2 、以 xeyey xx2 cos , 21??为特解的最低阶的实常系数齐次线性方程是。 3 、微分方程 0 sin cos ?? xdx y xdy 的通积分是。 4、n 阶线性微分方程的 n 个解 y 1 (x),y 2 (x), …,y n (x) 的朗斯基行列式不等于零是这几个解构成基本解组的条件。 5 、初值问题 x ydx dy?, y(1)=1 的解是。 6 、设 A=, 则矩阵指数函数 xAe =。 7、设函数 y=?(x) 是方程 F( x,y,y