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高等数学教案第十节连续函数的运算与初等函数的连续性 1 章节题目第一节函数内容提要回顾集合,区间,邻域,常量与变量,绝对值等概念介绍函数的概念和函数的特性有界性,单调性,奇偶性, :3、4(3)(5)(7)、6、8、 10、 11、 15(1)(3)、 16 高等数学教案第十节连续函数的运算与初等函数的连续性 2 备注教学内容高等数学教案第十节连续函数的运算与初等函数的连续性 3 一、基本概念 1. 集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素.,Ma?,Ma?},,,{ 21naaaA??有限集}{所具有的特征 xxM?无限集.,,的子集是就说则必若BABxAx??.BA?记作数集分类: N---- 自然数集 Z---- 整数集 Q---- 有理数集 R---- 实数集数集间的关系:.,,RQQZZN???.,,相等与就称集合且若BAABBA??)(BA?例如},2,1{?A },023{ 2?????则不含任何元素的集合称为空集.)(?记作例如,}01,{ 2???xRxx??规定: 空集为任何集合的子集. 2. 区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点..,,baRba???且}{bxax??称为开区间,),(ba记作 oxa b}{bxax??称为闭区间,],[ba记作 oxa b}{bxax??称为半开区间,),[ba记作}{bxax??称为半开区间,],(ba记作以上为有限区间高等数学教案第十节连续函数的运算与初等函数的连续性 4 }{),[xaxa????、}{),(bxxb????无限区间 oxaox b 区间长度的定义: 两端点间的距离( 线段的长度) 称为区间的长度. 3. 邻域:.0,???且是两个实数与设a,}{邻域的称为点数集??aaxx??,?.}{)(????????axaxaUx a ??a??a ??,邻域的去心的点?a ).( 0aU ?记作.}0{)( 0??????axxaU 4. 常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 而数值变化的量称为变量. 注意:常量与变量是相对“过程”而言的. 常量与变量的表示方法: 通常用字母 a, b,c 等表示常量, 用字母 x, y,t 等表示变量. 5. 绝对值:???????0 0aa aaa)0(?a 运算性质:;baab?;b ab a?.bababa?????绝对值不等式:)0(??aax?;axa???)0(??aax?;axax???或二、函数概念定义设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集, 如果对于每个数 Dx?, 变量 y 高等数学教案第十节连续函数的运算与初等函数的连续性 5 按照一定法则总有确定的数值和它对应,则称 y 是x 的函数,记作)(xfy?因变量自变量)(xfy?数集 D 叫做这个函数的定义域.)(, 000处的函数值为函数在点称时当xxfDx?.} ),({称为函数的值域函数值全体组成的数集 DxxfyyW???函数的两要素: 定义域与对应法则.(( )) 0x 对应法则 fxy DW 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值. 21xy??例如, ]1,1[:?D 21 1x y??例如, )1,1(:?D 如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数,否则叫与多值函数.. 例如, 222ayx??定义:.)(} ),(), {(的图形称为函数点集 xfyDxxfyyxC????几个特殊的函数举例(1) 符号函数???????????01 00 01 sgn x x xxy当当当(2) 取整函数 y= [x],[x] 表示不超过 x 的最大整数(3) 狄利克雷函数?????是无理数时当是有理数时当x xxDy0 1)( (4) 取最值函数)}( ),( max{ xgxfy?)}( ),( min{ xgxfy?在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的式子来表示的函数, 称为分段函数.????????0,1 0,12)(, 2xx xxxf例如)( 0xf 高等数学教案第十节连续函数的运算与初等函数的连续性 6 例1 脉冲发生器产生一个单三角脉冲, 其波形如图所示, 写出电压 U 与时间)0(?tt E ),2 (E ?2 ?解:,]2 ,0[时当??tt EU2 ??; 2t E??,],2 (时当???t ),(2 00?????????t EU)( 2?????t EU即,),(时当?????U其表达