在实际工程问题中,我们进行了大量的试验,从中得到了一个关于某个现象出现规律的描述方程,或者说借鉴了前人或其它人的研究成果,即,其中: 来描述某个现象的规律,并从这种规律中找出影响因素的最大值或最小值。从数学上讲,求出某函数的最大或最小值,就要对某个函数进行一次微分,即: 这时方程就变了: 要想求解出 x,就得求解这个方程。 1 2 3 ( ) f x a bx cx dx ? ??????????( ) y f x ? 2 '( ) 2 3 0 f x b cx dx ? ??????? 2 2 3 0 b cx dx ? ???????第一章代数方程的计算机方法其具体方法是:对于一般方程首先将其变形为: 称为迭代函数。( ) 0 f x ? 1 ( ) n n x x ???( ) x x ??其迭代过程中的计算公式就可以用下式表达: 反复进行迭代,直到: 1 | | n n x x ??? ? 1、迭代法几何意义? 定理 1设φ(x)在[a,b ]上具有连续的一阶导数,且(1)对任意 x∈[a,b ],总有φ(x)∈[a,b ] (2)存在 0≤L <1 ,使对任意 x∈[a,b ]成立│φˊ(x *)│<L 基本思想是:为了把根夹住,先找到两个异号的值在两个异号的值之间选取方程 f(x)=0 根的一个估计值 x 0, 然后将 f(x)=0 在x 0处进行泰勒展开: f(x 1)=f(x 0)+f ’(x 0)(x 1-x 0)+1/2f ”(x 0)(x 1- x 0) 2+…=0 因为 x 0 是在 f(x 0) 的根值附近,所以,令: h=x 1-x 0 是一个很小值则 h 2 更是一个极小值,所以将泰勒展开式的右边的第三项以后的项都有忽略(作为误差来处理) 2、牛顿法 0) )(()()( 00 '0????xxxfxfxf也即: 0) )(()( 00 '0???xxxfxf移项得: )( )( 0 ' 00xf xfxx??得到: 1 ( ) '( ) n n n n f x x x f x ?? ?这里 x n+1是在 x=x n处曲线的切线与x轴的交点。?这种方法的缺点是: ?1、在迭代过程中,一但曲线的斜率 f ’(x )=0 ,就无法迭代下去了。?2、还可以证明当 f ’’(x)趋于无穷大时,牛顿法也将失效。会用牛顿法解方程牛顿法的优点就是收敛速度快。但是其明显的缺点就是先要求出 f’(x)的值来,如果求导不容易,这时牛顿法就变得不方便了。遇到就种情况时,我们就采用: (14) 来代替导数 f ’(x n),这时相应的公式就变成了: (15) 1 ( ) ( ) n n n n f x x x s x ?? ? 11 ( ) ( ) ( ) n n n n n f x f x s x x x ?????3、弦割法 8 1 ( ) ( ) n n n n f x x x s x ?? ? 11 ( ) ( ) ( ) n n n n n f x f x s x x x ?????求解的过程是:首先按 x的等距离间隔求出它的函数值 f(x ),直到相邻的两个函数值 f(x n)和f(x n+1 )具有相反的符号为止。即: f(x n)f(x n+1 )<0 因为对于连续的函数而言,这种函数值的不同就指明了根值的存在。这时用下列式子求出 x n和x n+1 的中间值 x mid 然后,再求出点 x mid 的函数值 f(x mid ),若 f(x mid )与f(x n)同号就以 f(x mid )代替 f(x n),否则就以 f(x mid )代替 f(x n+1 )。 12 n n mid x x x ???4、二元搜索法 10 ?首先按 x的等距离间隔求出它的函数值 f(x ),直到相邻的两个函数值 f(x n)和f(x n+1 )具有相反的符号为止。?即: f(x n)f(x n+1 )<0 12 n n mid x x x ???
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