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静电场边值问题?唯一性定理 泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程: ?????? 2泊松方程????E 0???EED??常数??????D???????????EEE ??????????泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。 列出求解区域的微分方程时当0?? 0 2???拉普拉斯方程 2? 2 22 22 22zyx??????????——拉普拉斯算子 0 0 2 2 1 2?????? 3 33 2?????? 三个不同媒质区域的静电场 0)2 dE2 dE( lim d lim n2n10d 2121 21????????? lE?? 21???因此表明: 在介质分界面上,电位是连续的。 3、用电位函数表示分界面上的衔接条件?设点 1与点 2分别位于分界面的两侧,其间距为 d, , 则 0d?n ED,n ED 22n22n2 11n11n1?????????????????????????????nn 22 11表明: 一般情况下 , 电位的导数是不连续的。)0(?? 电位的衔接条件对于导体与理想介质分界面,用电位表示的衔接条件应是如何呢? ?为什么说第二类边界条件与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的? )(sfn 2S???? 边值问题框图自然边界条件参考点电位有限值????r r lim 边值问题微分方程边界条件场域边界条件分界面衔接条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合,即 0 2 2???????????????????????nn 22 11 21 )(sf 1S??)(sfn 2S????)()(sfn 3S???????边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法分离变量法镜像法、电轴法微分方程法保角变换法有限差分法有限元法边界元法矩量法模拟电荷法数学模拟法物理模拟法???????????? 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为 2b的正方形, 铅皮半径为 a,内外导体之间电介质的介电常数为,并且在两导体之间接有电源 U 0,试写出该电缆中静电场的边值问题。?解: 根据场分布对称性,确定场域。 0yx 2 22 22???????????(阴影区域) 场的边值问题 0bx0byby0bxU???????),,(及?0 0y0xayx 222?????),,(?0x ayb0x??????),(?0y axb0y??????),(? 缆心为正方形的同轴电缆横截面 0 1 22 1 2 dr dr dr dr 1????????)()0(ar??0 dr dr dr dr 1 2 22 2 2???)( ??)(???ra 边界条件积分之,得通解 4 32210 21Cr C)r(Cr 1C6 r)r(?????????? 设有电荷均匀分布在半径为 a的介质球型区域中,电荷体密度为,试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。?解: 采用球坐标系,分区域建立方程 ar 2ar 1????? ar 20ar 10rr ???????????有限值??0r1?参考点电位 0 r2???? 体电荷分布的球形域电场解得 0 320 23 413 aC2 aC 0C0C????????,电场强度(球坐标梯度公式): ar03 rr r0 r 111??????????eerE????)(???????????rar3 ar r20 2r 22eerE????)( 2对于一维场(场量仅仅是一个坐标变量的函数),只要对二阶常系数微分方程积分两次,得到通解;然后利用边界条件求得积分常数,得到电位的解; 再由得到电场强度 E的分布。????E 电位: ????????ra r3 ar ar0ra36 r 0 32 220 1??????)( )()( 2. 唯一性定理的重要意义?可判断静电场问题的解的正确性: 图示平板电容器的电位,哪一个解答正确? 0 03 0 02 201Uxd UC Uxd UB xd UA?????????、、、答案:( C) ?唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据。 平板电容器外加电源 U 0 ?) Theorem Uniquness (, 定理称之为静电场的唯一性的解是唯一的拉斯方程