第4章 平面单元(plane).doc

1 第4章平面问题的有限元法.................................................................................................... 1 三角形单元刚度矩阵推导.................................................................................................... 1 利用平面三角形单元进行整体分析................................................................................... 6 求解弹性力学平面问题的实施步骤............................................................................. 9 边界条件的引入以及整体刚度矩阵的修正................................................................ 9 计算结果的整理........................................................................................................... 10 计算实例...................................................................................................................... 11****题.............................................................................................................................................. 2 第4章平面问题的有限元法平面问题的有限单元法不仅可以对实际的具有平面特征的机械结构进行计算,还可以通过它掌握有限单元法的基本思想和基本步骤。本章详细介绍平面三角形单元的基本原理、用平面三角形单元进行结构有限元分析的主要步骤,并给出了示例。 三角形单元刚度矩阵推导平面弹性问题可以被分成两类:平面应力问题和平面应变问题。在平面应力问题中,连续体的二维坐标尺寸远大于第三维尺寸( 如板), 平面的法向应力可以忽略。在平面应变问题中, 连续体的二维坐标尺寸远小于第三维尺寸,加载平面的法向应变可以假设为零。因此分析该连续体的应力和位移时,可以通过分析其法向应变为零的一个横断面来完成。平面问题可以用最简单的平面三角形常应变单元加以分析。在这节中讨论平面三角形单元的构造方法,给出用平面三角形单元求解平面应力问题的详细过程。平面三角形单元刚度矩阵的推导包括如下六个方面。(1) 选择合适的单元,建立坐标系统,进行结构离散在有限单元法分析问题时,第一步就是要选择合适的单元,确定合理的坐标系统,对弹性体进行离散化,把一个连续的弹性体变换为一个离散化的有限元计算模型。采用三角形单元,把弹性体划分为有限个互不重叠的三角形。用平面三角形分析时,可以只建立一个整体坐标系 Oxy 。这些三角形在其顶点(即结点)处互相连接,组成一个单元集合体,以替代原来的弹性体。同时,将所有作用在单元上的载荷(包括集中载荷、表面载荷和体积载荷),都按虚功等效的原则移置到结点上,成为等效结点载荷。由此得到平面问题的有限元计算模型,如图 4-1 所示。 2 图 4-1 弹性体和离散化后的有限元计算模型对于其中任意一个三角形单元,如图 4-2 所示,结点编号 1、2、3 按逆时针顺序编排,三个结点的位置坐标分别是),( 11yx ,),( 22yx 和),( 33yx 。对于平面问题, 每个结点有 x和y 两个( 位移 u和v, 即有两个) 方向的自由度。可以认为三角形单元共有 6 个自由度, 即{ 332211,,,,,vuvuvu } T ,相应的单元结点力分量分别为{ 332211,,,,, yxyxyxFFFFFF } T。图 4-2 直角坐标系下平面三角形单元的结点位移和结点力三角形单元的 6 个结点位移分量用列阵表示为 1 2 1 1 2 2 3 3 3 { , , , , , } e T u v u v u v ? ??