陈文灯考研数学 高等数学 讲义.doc

-1-1 《高等数学复****教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1. 函数概念与性质函数的基本性质(单调、有界、奇偶、周期) 几类常见函数(复合、分段、反、隐、初等函数) 2. 极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3. 连续函数连续(左、右连续)与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质(最值、有界、介值) 二、题型与解法 A. 极限的求法(1 )用定义求(2 )代入法(对连续函数,可用因式分解或有理化消除零因子) (3 )变量替换法(4 )两个重要极限法(5 )用夹逼定理和单调有界定理求(6 )等价无穷小量替换法(7 )洛必达法则与 Taylor 级数法(8 )其他(微积分性质,数列与级数的性质) -2-1 12 arctan lim )21 ln( arctan lim 30 30??????????x xxx xx xx ( 等价小量与洛必达) 2. 已知 20 30)(6 lim 0 )(6 sin limx xfx x xfx x x???????,求解: 20 303 ')(6 cos 6 lim )(6 sin limx xyxfxx x xfx xx????????72 )0(''06 )0(''3216 6 '''''36 cos 216 lim 6 '''26 sin 36 lim 0 0??????????????????y y xyyxx xyyx x x 36 2 72 2 '' lim 2 ' lim )(6 lim 00 20???????????yx yx xf xxx ( 洛必达) 21)1 2( lim ???? x xxx x ( 重要极限) 4. 已知 a、b 为正常数, x xxxba 30)2 ( lim ???求解:令]2 ln) [ln( 3 ln,)2 ( 3????? xxx xxbax t bat 2/3 00)( ) ln( 2 3) ln ln( 3 lim ln lim ab t ab bbaaba t xxxxxx??????????( 变量替换) 5.)1 ln( 10) (cos lim xxx ???-3-1 三、补充****题(作业) cos 1 1 lim 0????????xx xe xx ( 洛必达) 2.) 1 sin 1( lim 0xx ctgx x???( 洛必达或 Taylor ) lim 00??????? x xtxe dtex ( 洛必达与微积分性质) 第二讲导数、微分及其应用一、理论要求 1. 导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导(基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导) 会求平面曲线的切线与法线方程 2. 微分中值定理理解 Roll 、 Lagrange 、 Cauchy 、 Taylor 定理会用定理证明相关问题 3. 应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题,能画简图会计算曲率(半径) 二、题型与解法 A. 导数微分的计算基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导-4-1 1.????????52 arctan )( 2te tyy txxyy由决定,求 dx dy sin ) ln( )( 32????由决定,求 1| 0??xdx dy 解:两边微分得 x=0 时yxyy?? cos ' ,将 x=0 代入等式得 y=1 xy???2)(由决定,则 dx dy x)12 (ln | 0??? B. 曲线切法线问题 4. 求对数螺线)2/, 2/??????ee( ) , 在( ??处切线的直角坐标方程。解:1|' ),,0(|),(, sin cos 2/ 2/2/?????????????????????yeyxey exxey??? 2/? (x) 为周期为 5 的连续函数,它在 x=1 可导,在 x=0 的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x) 。求 f(x) 在( 6, f(6) )处的切线方程。解:需求)1(' ),1()6(' ),6(ffff或,等式取 x->0 的极限有: f(1)=0 )6(22)1('8)1('4 ] )1()1(3 )1()1([ lim sin ) sin 1(3) sin 1( lim 0 sin 0?????????????????????xyff t ftft ftf x xfxf t tx x -5-1 C. 导数应用问题 6. 已知xexfxx xfxxfy ?????1 )]('[2)('')( 2满足对一切, )0(0)(' 00??xxf若,求),( 00yx 点的性质。解: