常微分方程数值解法.doc

第八章常微分方程数值解法教学目的 1. 掌握解常微分方程的单步法: Euler 方法、 Taylor 方法和 Runge-Kutt a 方法;2. 掌握解常微分方程的多步法: Adams 步法、 Simpson 方法和 Milne 方法等;、相容性与稳定性;多步法的稳定性。教学重点及难点重点是解常微分方程的单步法: Eule r 方法、 Taylo r 方法和 Runge-Kutt a 方法和解常微分方程的多步法: Adams 步法、 Simpson 方法和 Milne 方法等; 难点是理解单步法的收敛性、相容性与稳定性及多步法的稳定性。教学时数 20 学时教学过程§1 基本概念 常微分方程初值问题的一般提法常微分方程初值问题的一般提法是求函数 bxaxy??),( ,满足?????????)( )( )( ),,(?ay bxayxfdx dy 其中),(yxf 是已知函数, ?是已知值。假设),(yxf 在区域},), {( ??????ybxayxD 上满足条件: (1)),(yxf 在D 上连续; (2)),(yxf 在D 上关于变量 y 满足 Lipschitz 条件: 2121),(),(yyLyxfyxf???,21,,yybxa???() 其中常数 L 称为 Lipschitz 常数。我们简称条件( 1)、(2 )的基本条件。由常微分方程的基本理论,我们有: 定理 1当),(yxf 在D 上满足基本条件时,一阶常微分方程初值问题( )、(1 .2) 对任意给定?存在唯一解)(xy 在],[ba 上连续可微。定义 1 方程( )、(1 .2 )的解)(xy 称为适定的,若存在常数 0??和0?K ,对任意满足条件???及????)(x 的?和)(x?,常微分方程初值问题?????????????aaz bxaxzxfdx dz)( ),(),( () 存在唯一解)(xz ,且}.{)()(???????Kxzxy 适定问题的解)(xy 连续依赖于( )右端的),(yxf 和初值?。由常微分方程的基本理论,还有: 定理 2当),(yxf 在D 上满足基本条件时,微分方程( )、( )的解)(xy 是适定的。我们在本章中假设),(yxf 在D 上满足基本条件, 从而()、() 的解)(xy 存在且适定。一般的一阶常微分方程组初值问题是求解???????????niay bxaniyyxfydx d ii nii,,2,1,)( ,,,2,1 ),,,,( 1????(1 .5) ( )的向量形式是??????????)( ),,(ay bxayxFydx d () 其中.),,,(, )),(, ),,((),(, ))(, ),(()( 21 1 1 Tn Tn TnyxfyxfyxFxyxyxy??????????记},,2,1,,),,, {( 1niybxayyxD in?????????。类似于定理 1 和定理 2 ,我们有: 定理 3 若映射),(yxF 满足条件(1)),(yxF 在D 上是从 1?nR 到nR 上的连续映射; (2)),(yxF 在D 上关于 y 满足 Lipschits 条件;212121,,),(),(yybayyLyxFyxF??????任意。则常微分方程组初值问题( ) 存在的唯一的连续可微解),(xy 而且解)(xy 是适定的。高阶常微分方程初值问题一般为????????????????1,,1,0,)( ),,, ,,( 1 1 1niaaydx d dxaydx ddx dyyxfydx d ii i n nn n??( ) 其中),,,,(uuyxf?是给定多元函数, naa?, 1 为给定值。引进新的变量函数 nkbxaxydx dxy k kk,,2,1, ),()( 1 1???????(1 .7. ) 则初值问题( )化成了一阶常微分方程组初值问题????????????????????niay yyxfdx dy yydx d bxa yydx d ii n n nn,2,1,)( ),,,( )( 1 1 21????通过求解( )得到(1 .6 ) 的解)()( 1xyxy?。 初值问题数值解基本概念初值问题的数值解法,是通过微分方程离散化而给出解在某些节点上的近似值。在?? ba, 上引入节点??),,1(,: 1 100nkxxhbxxxax kkkn nk k????????????称为步长。在多数情况下, 采用等步长,即),1,0(,nk khaxn abh k??????。记( )