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乘法公式一、平方差公式:( a+b ) (a-b)=a -b 要注意等式的特点: (1)等式的左边是两个二项式的乘积,且这两个二项式中,有一项相同,另一项互为相反数; (2)等式的右边是一个二项式,且为两个因式中相同项的平方减去互为相反数的项的平方. 值得注意的是,这个公式中的字母 a,b可以表示数,,也可以逆用做为快速计算的工具. 例1 下列各式中不能用平方差公式计算的是( ). A.( a-b)(- a-b)B.( a 2-b)( a+b) C.( a+b)(- a-b)D.( b 2-a)(- a-b) 解:,A中,- b是相同的项, a与- a是性质符号相反的项,故可使用;B中 a是相同项,- b与b是互为相反数符合公式特点;,不符合上述的等式的特征,因此不可使用平方差公式计算. 例2 运用平方差公式计算: (1)( x-y)(- y-x); (2)( a-3)( a+9)( a+3). 解: (1)( x-y)(- y-x) =(- y+x 2)(- y-x) =(- y)-( x) 2 =y-x; (2)( a-3)( a+9)( a+3) =( a-3)( a+3)( a+9) =( a-3)( a+ 9) =( a-9)( a+9) =a- 81. 例3 计算: (1) - ; (2) (2x 2 +3x+1)(2x 2 -3x+1) . 分析: (1)中的式子具有平方差公式的右边的形式,可以逆用平方差公式;(2)虽然没有明显的符合平方差公式的特点,值得注意的是,平方差公式中的字母 a,b可以表示数,也可以是单项式或多项式, 我们可以把 2x +1看做公式中字母 a,,利用平方差可以简化整式的计算. 解: (1) - =( + ) ( - ) = 100 ×9= 900 ; (2) (2x +3x+1)(2x -3x+1) =(2x +1) -(3x) =4x +4x +1-9x =4x -5x +1 二、完全平方公式: (a+ b) 2=a+ 2ab +b (a- b)=a- 2ab +b. 二项式的平方,等于其中每一项(连同它们前面的符号)的平方,加上这两项积的两倍. 完全平方公式是计算两数和或差的平方的简算公式,,(a±b) 2=a 2±b 2 ,或( a-b) 2=a 2- 2ab -b 2 等错误. 需要指出的是,如同前面的平方差公式一样,这里的字母 a,b 可以表示数, 也可以是单项式或多项式. 例1 利用完全平方公式计算: (1)(- 3a-5) 2; (2)( a-b+c) 2. 分析: 有关三项式的平方可以看作是二项式的平方,如( a-b+c) 2=[(a-b )+ c] 2或[a -( b -c)] 2 ,通过两次应用完全平方公式来计算. 解: (1)(- 3a-5) 2 =(- 3a) 2-2× (- 3a)×5+5 2 = 9a 2+ 30a + 25 (2)( a-b+c) 2=[(a-b )+ c] 2 =( a-b) 2+2(a-b)c+c 2=a 2- 2ab +b 2+ 2ac - 2bc +c 2=a 2+b 2+c 2+ 2ac - 2ab - 2bc . 例2 利用完全平方公式进行速算. (1)101 2 (2)99 2解: (1)101 2分析:将 101 2 变形为(100+1) 2 原式可=(100+1) 2 利用完全平方公式来速算. =100 2 +2× 100 × 1+1 2 =10201 解: (2)99 分析:将 99 2 变形为(100-1) 2 原式可=(100-1) 2 利用完全平方公式来速算. =100 2 -2× 100 × 1+1 2 =9801 例3 计算: (1) 99 2- 98× 100 ;(2) 49× 51-2 499 . 解: (1) 99 2- 98× 100 =( 100 -1) 2- 98× 100 = 100 2 -2 × 100 +1- 9800 = 10000 - 200 - 9800 +1 =1; (2) 49× 51- 2499 =( 50-1 )( 50 +1)- 2499 = 2500 -1- 2499 =0. 例4 已知 a+b=8, ab= 10 ,求 a 2+b 2 ,( a-b) 2 的值. 分析: 由前面的公式变形可以知道: a