高数二重积分习的题目解答.doc

实用标准文案
第 9 章 重积分及其应用
1．用二重积分表示下列立体的体积：
(1) 上半球体： {( x, y, z) | x2 y2 z2 R2 ; z 0} ；
(2) 由抛物面 z 2
x
4,0
y
8} ；
ln(4
x
y)
D
(2)
I
sin(x2
y2 )d
, D
(x, y) π x2
y2
3π ；
D
4
4
(3)
I
1
d , D
{( x, y) || x |
| y | 1} ；
100
cos2 x
cos2
y
D
(4)
I
x2
y2
, D
( x, y) x
2
y
2
1
e
d
4
D
解答：(1)
由于 D
{( x, y) | 0
x
4,0
y
8} 的面积为 32，在其中
1
ln(4
1
1 ，
ln16
x y)
ln 4
而等号不恒成立，故
8
I
16
；
ln 2
ln 2
(2)
由于 D
(x, y)
π x2
y2
3π 的面积为 1
2 ，在其中
2
sin( x2
y2 )
1 ，而等号不
4
4
2
2
2
2
恒成立，故
2π
I
π ；
4
2
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实用标准文案
(3)
由于 D
{( x, y) || x |
| y | 1} 的面积为
2
，在其中 1
100
1
cos2 y
1 ，而等号
102
cos2 x
100
不恒成立，故 1
I
1
；
51
50
注 ： 原 题 有 误 ？ 还 是 原 参 考 答 案 有 误 ？ 如 将 D {( x, y) || x |
| y | 1} 改 为
D
{ ( x , y ) |x|
|
y |
，则|区域面积为
200，结论为 100
I
2
51
( x, y) x2
y2 1 的面积为 1
，在其中 1 sin( x2
y2 )
1
(4)
由于 D
e4 ，而等号不恒成立，
4
4
1
故
ππe4
I
．
4
所属章节：第九章第一节难度：二级
7．设 f(x，y)是连续函数，试求极限： lim 12
f ( x, y)d
r 0
π
r
2
2
2
x
y
r