世纪金榜二轮专题辅导与练习选修_4-5.ppt

选修4-5 不等式选讲
一、主干知识
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(1)|f(x)|>a(a>0)⇔___________________.
(2)|f(x)|<a(a>0)⇔_____________.
(3)对形如|x-a|+|x-b|≤c,|x-a|+|x-b|≥c的不等
式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.
f(x)>a或f(x)<-a
-a<f(x)<a
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_________≤|a±b|≤_________.
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(1)柯西不等式的代数形式:设a,b,c,d为实数,则
____________________________,当且仅当ad=bc时
等号成立.
|a|-|b|
|a|+|b|
(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2
(2)若ai,bi(i∈N*)为实数,则
当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得
ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式:设为平面上的两个向量,
则当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.
—几何不等式:
若a1,a2,…,an为正数,则__________________________,
当且仅当a1=a2=…=an时等号成立.
二、重要方法
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一般在证明不等式的题目中,首先考虑用比较法,“作差比较法”和“作商比较法”.
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用综合法证明不等式的过程中,所用到的依据一般是定义、公理、定理、性质等,如基本不等式.
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用分析法证明不等式的关键是对原不等式的等价转换,它是从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立.
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有些不等式,从正面证如果不易说清,可以考虑反证法,凡是含有“至少”“惟一”或者其他否定词的命题适用反证法.
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放缩法是在证题过程中,根据不等式的传递性,常采用舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大),或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数,或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母),从而达到证明的目的.
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用数学归纳法证明与正整数有关的不等式的证明过程与用数学归纳法证明其他命题一样,先要奠基,后进行假设与推理,二者缺一不可.
1.(2013·江苏高考)已知a≥b>0, 求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.
【证明】2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=
(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b).
因为a≥b>0, 所以a-b≥0, a+b>0, 2a+b>0,从而
(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,
即2a3-b3≥2ab2-a2b.
2.(2013·福建高考)设不等式x-2<a(a∈N*)的解集为A,且
(1)求a的值.
(2)求函数f(x)=x+a+x-2的最小值.
【解析】(1)因为所以
解得又因为a∈N*,所以a=1.
(2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3.
当且仅当(x+1)(x-2)≤0即-1≤x≤2时取到等号,所以f(x)
的最小值为3.
热点考向 1 含有绝对值的不等式
【典例1】已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.
(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集.
(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.