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角平分线[ 知识总结] 角平分线(1 )定义: 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。(2 )性质: ①角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。②三角形的三条角平分线相交于一点,且到三条边的距离相等。(3 )判定:到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。定理:角平分线上的点到这个角两边的距离相等证明:如图 OC 是∠ AOB 的平分线,点 P在 OC 上 PD ⊥ OA , PE ⊥ OB ,垂足分别为 D、E, ∵∠ 1= ∠2, OP=OP , ∠ PDO= ∠ PEO=90 ° ∴△ PDO ≌△ PEO ( AAS ) ∴ PD=PE (全等三角形的对应边相等) 例如图,已知 AD为△ ABC 的角平分线, ∠ B=90 °, DF⊥ AC ,垂足为 F, DE=DC ,求证 BE=CF 例在⊿ ABC 中,点O是 AC 边上一动点, 过点 O 作直线 MN ∥ BC ,与∠ ACB 的角平分线交于点 E,与∠ ACB 的外角平分线交于点 F ,求证: OE=OF 2 1 AOF EC B MN [ 随堂练****1. 已知, 如图,O是△ ABC 的∠ ABC 、∠ ACB 的角平分线的交点, OD∥ AB交 BC于D, OE∥ AC交 BC于E,若 BC=10cm ,求△ ODE 的周长; 2. 如图,在△ ABC 中, AC=BC ,∠ C=90 °, AD是△ ABC 的角平分线, DE⊥ AB ,垂足为 E。(1 )已知 CD=4cm ,求 AC 的长; (2 )求证: AB=AC+CD 。定理:在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上例如图,已知 BE⊥ AC于E, CF⊥ AB于F, BE、 CF 相交于点 D ,若 BD= CD. 求证: AD 平分∠ BAC . 定理:三角形的三条角平分线相交于一点例设△ ABC 的角平分线 BM、 CN 交于 P ,求证: P 点在∠ BAC 的平分线上用尺规作角的平分线。已知: ∠ AOB 求作:射线 OC ,使∠ AOC= ∠ BOC 作法: 1 、在 OA和 OB 上分别截取 OD、 OE ,使 OD=OE 2 、分别以 D、E 为圆心,以大于 12 DE 的长为半径作弧,两弧在∠ AOB 内交于点 C。 3 、作射线 OC OC 就是∠ AOB 的平分线。[ 随堂练****1 、已知: △ ABC 中, BP、 CP 分别是∠ ABC 和∠ ACB 的角平分线,且交于 P,若P 到边 AB 的距离为 3cm ,△ ABC 的周长为 18cm ,则△ ABC 的面积为。 2 、到三角形三边距离相等的点是( ) A 、三条中线的交点; B 、三条高的交点; C 、三条角平分线的交点; D 、不能确定归纳定理:三角形的三条角平分线交于点,并且这一点到三条边的距离。知识引申:三角形的三条角平分线交于一点,若设这一点到其中一边的距离为 m ,三边长分别为 a、b、c,则三角形的面积 S= 1、如图在△ ABC 中 AQ=PQ , PR=PS , PR⊥ AB于R, PS⊥ AC于S ,则三个结论: ① AS=AR ,② QP∥ AR, ③△ BRP ≌△ QSP 中( ) A 全部正确 B :仅①和②正确 C :仅①正确