［推荐精品］数学思想与方法作业-参考解答.docx

第一，社会管理需要精确化的定量依据，这是促使社会科学数学化的最根本的因素。
第二，社会科学的各分支逐步走向成熟，社会科学理论体系的发展也需要精确化。
第三，随着数学的进一步发展，它出现了一些适合研究社会历史现象的新的数学分支。
第四，的对象都是抽象的概念和命题，它所探讨的是这些概念和命题之间 的逻辑关系，不讨论这些概念和命题与社会生活之间的关系，也不考察这些数学模型所由之 产生的现
实原型。因此《几何原本》的内容是抽象的。
(3)公理化的方法
《几何原本》的第一篇中开头5个公设和5个公理，是全书其它命题证明的基本前提， 接着给出23个定义，然后再逐步引入和证明定理。定理的引入是有序的，在一个定理的证 明中，允许采用的论据只有公设和公理与前面已经证明过的定理。以后各篇除了不再给出公 设和公理外也都照此办理。这种处理知识体系与液方法就是公理化方法。
《九章算术》思想方法的特点，为什么？
解答：(1)开放的归纳体系
从《九章算术》的内容可以看出，它是以应用问题解法集成的体例编纂而成的书，因此 它是一个与社会实践紧密联系的开放体系。
在《九章算术》中通常是先举出一些问题，从中归纳出某一类问题的顶解法；再把各 类算法综合起来，得到解决该领域中各种问题的方法；最后，把解决各领域中问题的数学方 综
合起来，就得到整个《九章算术》。
另外该书还按解决问题的不同数学方法进行归纳，从这些方法中提炼出数学模型，最后再 以数学模型立章写入《九章算术》。
因此，《九章算术》是一个开放的归纳体系。
(2)算法化的内容
《九章算术》在每一章内先列举若干个实际问题，并对每个问题都给出答案，然后再给
这里所用的就是化归方法。
二、论述题
叙述不完全归纳法的推理形式，并举一个应用不完全归纳法的例了。
解答：不完全归纳法的一般推理形式是：设S={A'盅'人3，・
由于A具有属性p,盅具有属性p,……A具有属性p,
因此推断：S类事物中的每一个对象都可能具有属性P。例如：记S = {6,8,10,12,…},
由于 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7,这里 3, 5, 7 都是奇素数， 因此推断：S中的数，即大于4的偶数都可以表不成两个奇素数之和。
叙述类比推理的形式。如何提高类比的可靠性？
解答：类比推理通常可用下列形式来表示：
A具有性质％，“2, ，a“及d；
B具有性质4' ”2, ，
因此，B也可能具有性质
其中，％与a；, a?与a；,……，a“与a'n, d与/分别相同或相似。
欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：
⑴A与B共同（或相似）的属性尽可能地多些;
⑵这些共同（或相似）的属性应是类比对象A与B的主要属性；
⑶这些共同（或相似）的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的;
（4）可迁移的属性d应该是和%，••••••' a“属于同一类型。
符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。
试比较归纳猜想与类比猜想的异同。
解答：归纳猜想与类比猜想的共同点是：他们都是一种猜想，即一种推测性的判断，都是一 做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识一一由对个体特性的认识上升为对个体所属 的种的特性的认识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升 为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。在数学中经常使 用的是理论概括。
一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。
简述公理方法历史发展的各个阶段。
解答：公理方法经历了具体的公理体系、抽象的公理体系和形式化的公理体系三个阶 段。
第一个具体的公理体系就是欧几里得的《几何原本》。非欧几何是抽象的公理体系的 典型代表。希尔伯特的《几何基础》开创了形式化的公理体系的先河，现代数学的几 乎所有理论都是用形式公理体系表述出来的，现代科学也尽量采用形式公理法作为研 究和表述手段。
简述化归方法并举例说明。
解答：所谓“化归”，从字面上看，应可理解为转化和归结的意思。数学方法论中所 论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归 结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手 段和方法。
例如：要求解四次方程 x4 -5x2 +4-0
可以令 u=x2,将原方程化为关于u的二次方程 必―5"+ 4 = 0
这个方程我们会求其解：=1和约=4,从而得到两个二次方程：子=1和工2 =4 这也是我们会求解的方程，解它们便得到原方程的解：%! =1, x2 = -1, x3 = 2,
= —2.
教师提问：如何填写括号内的数字？为什么？