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求函数值域的几种方法
函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定， 但因函数千变万化， 形式各异， 值域的求法也各式各样， 因此求函数的值域就存在一定的困难，解题时，若方法适当， 能起到事半功倍的作用．求函数值域的常用
求函数值域的几种方法
函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定， 但因函数千变万化， 形式各异， 值域的求法也各式各样， 因此求函数的值域就存在一定的困难，解题时，若方法适当， 能起到事半功倍的作用．求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单调性法、判别式法、数形结合法等．
1．数形结合法
利用函数所表示的几何意义， 借助于图象的直观性来求函数的值域， 是一种常见的方法，
如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键．
a， a≥ b，
[ 典例 1] 对 a，b∈ R，记 max|a，b| ＝ 函数 f ( x) ＝ max|| x＋ 1| ，| x－2||( x
b， a<b.
R) 的值域是 ________．
1
| x＋1| ， x≥ ，
2
[ 解析 ] f ( x) ＝
1
| x－2| ， x<2，
3
由图象知函数的值域为 ，＋∞ .
2
[答案]
3
，＋∞
2
[ 题后悟道 ]
利用函数所表示的几何意义求值域 ( 最值 ) ，通常转化为以下两种类型：
(1) 直线的斜率：
y
连线的斜率；
y－ b
可看作点 ( x， y) 与 (0,0)
可看作点 ( x， y) 与点 ( a，
x
x－ a
) 连线的斜率．
b
(2) 两点间的距离：
x－ x
2
y－ y
2
) 之间的距离．
1
1
可看作点 ( x，y) 与点 ( x ，y
1
1
针对训练
1．函数 y＝
x＋ 3
2＋ 16＋x－ 5
2＋4的值域为 ________．
解析：函数
y
＝
(
x
) 的几何意义为： 平面内一点 (
0)到两点 (－
f
P x,
A
3,4) 和 B(5,2) 距离之和．由平面几何知识，找出
B 关于 x 轴的对称点
B′(5 ，－ 2) ．连接 AB′交 x 轴于一点 P即为所求的点， 最小值 y＝| AB′|
＝ (1 － y) 2－ 4y( y－1) ≥0，
82＋ 62＝ 10.
即函数的值域为 [10 ，＋∞ ) ．
答案： [10 ，＋∞)
2．判别式法
a x ＋ b x＋ c
12
1
2
1
1
对于形如
y＝ a2x
2＋ b2x＋ c2
( a ， a 不同时为零 ) 的函数求值域，通常把其转化成关于x
的一元二次方程，由判别式
Δ≥0，求得 y 的取值范围，即为原函数