平面几何中的向量方法.ppt

优选平面几何中的向量方法
第一页，共十八页。
向量的相关概念及其形式
定义形式
坐标形式
数量积运算
向量的模
向量的夹角
垂直的判定
共线的判定
相等的判定
优选平面几何中的向量方法
第一页，共十八页。
向量的相关概念及其形式
定义形式
坐标形式
数量积运算
向量的模
向量的夹角
垂直的判定
共线的判定
相等的判定
a=λb
第二页，共十八页。
向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的条件 a∥b .
(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件
a⊥b .
第三页，共十八页。
利用夹角公式
(3)求夹角问题 ，

(4)求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模|a|= 或|AB|=|AB|= .
第四页，共十八页。
A
B
C
D
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图， 你能发现对角
线AC的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗？
对角线DB？
对角线的长度与两条邻边
长度之间有何关系？
涉及到长度问题常常考虑向量的数量积
AB ²
AC ²
AD ²
DB ²
第五页，共十八页。
A
B
C
D
AB ²= a ²
AD ²= b ²
设AB=a，AD=b，则AC=a+b，DB=a-b，
分析：
AC ²=AC+AC=(a+b) (a-b)
·
=a a+a b+b a+b b
·
·
·
·
= a ²+2a b+ b ²
·
DB ²
= a ²- 2a b+ b ²
·
同理
DB ² =
AC ²+
2( a ²+ b ²)
AB ²+
AD ²
= 2 ( )
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.
第六页，共十八页。
利用向量法解决平面几何问题的基本思路
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究集合之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
第七页，共十八页。
A
B
C
D
E
F
R
T
例2 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
第八页，共十八页。
故AT=RT=TC
A
B
C
D
E
F
R
T
第九页，共十八页。
在日常生活中，你是否有这样的经验：
两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；
在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，
你能从数学的角度解释这种现象吗？
第十页，共十八页。
在日常生活中，你是否有这样的经验： 两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度解释这种现象吗？
G
F
F1
F2
θ
第十一页，共十八页。
G
F
F1
F2
θ
即F1、F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力
∴当θ由0°～180°逐渐增大时， 由0°～90°
逐渐增大，而 的值逐渐缩小，因此
逐渐增大
解：设 则由向量的平行四边
形法则、力的平衡及直角三角形的知
识可知
第十二页，共十八页。
G
F
F1
F2
θ
当θ=0， 最小，最小值是
当 θ 时，
例3.