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化二次型为标准型的方法
二、 二次型及其矩阵表示
在解析几何中，我们看到，当坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般方程
是
ax 2
2bxy
cy2
f .
（ 1）
为了便于研究这个二次曲线的 +
aij xi x j
j 2
i
2
i
2
j=2
=a11x12
n
n
n
+2 a1j x1 x j +
aij x i x j
j
2
i
2 j=2
n
2
n
2
n
- a111
n
=a11
x1
a111a1j x j
a1j x j
+
aij xi x j
j
2
j
2
i 2
j=2
n
2
n
n
=a11
x1
a111a1j x j
+
bij x i x j ，
j
2
i 2
j=2
这里
n
n
n
2
n
n
bij x i x j =- a111
a1j x j
+
aij x i x j
i 2 j=2
j 2
i
2
j=2
是一个 x 2 ,..., x n 的二次型。令
n
a11-1a1j x j
n
a11-1a1jx j
y1
x 1
x1
y1
j 2
j 2
y 2
x 2
即 x2
y2
...........
...........
y n
x n
xn
y n
f (x 1 , x 2 ,..., x n ) = a11y12
n
n
这是一个非退化线性替换，它使
+
i 2
j=2
bij xi x j 。
n
n
有归纳法假定，对
bij yi y j 有非退化线性替换
i 2 j 2
z2
c22 y 2
c23 y3
...c2n y n
z3
c32 y 2
c33 y3
...c3n yn
能使它变成平方和
d2 z22
d3z32
...dn zn2
。
...........
zn
cn2y2
cn3 y3
...cnn y n
于是非退化的线性替换
z1
y1
z2
c22 y 2
c23 y3
...c2n y n
z3
c32 y 2
c33 y3
...c3n yn
...........
zn
cn2y2
cn3 y3
...cnn y n
就使 f (x 1, x2 ,..., x n ) 变成 f (x 1, x 2 ,..., x n ) = d2z22
d3z32
...dn zn2
由归纳法，即证。
2）所有 aii 都等于 0，但至少一
a1j