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贝叶斯公式的妙用
贝叶斯公式是概率论中极为重要的公式， 它以其灵活的特性
与简洁的表达方式，受到了广泛重视。正确运用贝叶斯公式，有
助于把握随机事件之间的相互影响， 为我们解决复杂问题提供方
便。然而，多数教材对贝叶斯公式的探讨并不贝叶斯公式的妙用
贝叶斯公式是概率论中极为重要的公式， 它以其灵活的特性
与简洁的表达方式，受到了广泛重视。正确运用贝叶斯公式，有
助于把握随机事件之间的相互影响， 为我们解决复杂问题提供方
便。然而，多数教材对贝叶斯公式的探讨并不深入，公式的应用
形式也过于单调。 读者在学****过程中， 通常只是简单地套用公式，
对于贝叶斯公式的本质并没有彻底理解。 本文将结合三门问题和
潜艇区域搜索问题， 巧妙利用贝叶斯公式深入探究其本质， 帮助
读者更好地掌握与应用贝叶斯公式。
一、三门问题
三门问题亦被叫做 “蒙提霍尔悖论” ，问题如下：
电视台的一个抽奖节目。台上有三扇门，一扇后边有汽车，
其余两扇后边是山羊。 主持人让参与者任意选择其中一扇门。 然
后，他将打开其余两扇门中的一扇，参与者看到是山羊。这时，
他让参与者重选（主持人知道哪扇门后面有车） 。也就是说，参
与者可以在剩下的门中重新再选一扇。 那么， 参与者该不该选？
自从该问题 1991 年 1 月在美国《检阅》杂志刊登发表后就
引起了广泛热议， 许多人给出了他们自己的解法， 如基于条件期
望的方法、 穷列举法等。 下面我们采用贝叶斯公式对该问题的答
案进行一个新的解释。
设三扇门分别为 A 门、 B 门、 C 门，假设抽奖人打开A 门， 三扇门后面是车的概率都为 1/3 。主持人知道哪扇门后面有车，
设主持人打开C 门的概率为 P（ openC ） ，基于电视台利益的考
虑，主持人打开的一定是羊门。
如果车在 A 门后面，则主持人有B、 C 两种选择，打开C 门
概率为： P（openC“A ） = ；如果车在B 门后面，则主持人没有选
择，只能打开C 门，打开 C 门的概率为： P（ openC|B ） =1 ；如
果车在 C 门后面， 则主持人没有选择， 绝对不能打开C 门， 打开
C 门的概率为： P（ openC|C ） =0 。
因为 A ， B， C 三个事件是样本空间车所在位置的一个划分，
根据全概率公式P（openC ） =P（openC|A ） P（A） +P（ openC|B）
P（B） +P （openC|C） P（C） ，解得 P（openC ） = 。
根据贝叶斯公式，在主持人打开C 门的条件下， A 、 B 两门
后面是车的概率分别为：
因此，在主持人知道内幕的情况下，抽奖者应该换门。若主
持人不知道哪扇门后面有车， 则同样可运用贝叶斯公式进行求解。
但在绝大多数情况下， 主持人对车的位置是了解的， 所以本文不
再对主持人不知情的情况进行详细求解。
三门问题是一个极易产生 “认知错觉 ”的问题，对该问题进行
探讨和解决， 将有助于提高我们的逻辑思辨能力。 本文从归纳推
理的角度， 利用贝叶斯公式对其进行了再分析， 从而获得了三门
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问题的合理答案。
二、潜艇区域搜索问题
该问题改编自美国某潜艇失踪的实例： 一艘潜艇因意外事故
在甲、 乙、