抽象函数奇偶性的判定.docx

抽象函数奇偶性的判断
抽象函数奇偶性的判断
抽象函数奇偶性的判断
专题一抽象函数奇偶性的判断及应用
研究一：抽象函数的单一性和奇偶性问题
抽象函数的详细模型
含在抽象函数给出的运算式中，重点是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉 “”符号，转变为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。
例 6．已知是定义在（）上的偶函数，且在（ 0，1）上为增函数，知足，试确立的取值范围。
解：是偶函数，且在（ 0， 1）上是增函数， 在上是减函数，
由得。
（ 1）当时， ，不等式不建立。
2）当时，
（3）当时，
综上所述，所求的取值范围是。
四、不等式
这种不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再经过函数的单一性去掉函数符号 “”，转变为代数不等式求解。
例 7．已知函数对随意有，当时， ，，求不等式的解集。
解：设且 则 ，即，
故为增函数，
又
所以不等式的解集为。
议论不等式的解
求解这种问题利用函数的单一性进行转变，脱去函数符号。例 8， . 已知是定义在上的奇函数，若，且时，恒有
.（ 1）判断在上是增函数仍是减函数，并证明你的结论；
（2）解不等式
五、比较函数值大小 利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转变到函数的单一区间内，
而后利用其单一性使问题获解。
例 9，已知函数是定义域为 R 的偶函数，时，是增函数，若， ，且，则的大小关系是 _______。
剖析：且，
又时，是增函数，
是偶函数
故 1. 对于定义在上的函数，给出三个命题：
1）若，则是偶函数； （ 2）若，则不是偶函数；
3）若，则必定不是奇函数 .此中正确命题的序号为 ________________
2. 以下命题中，说法正确的选项是 ____________
1）若定义在上的函数知足，则函数是上的单一增函数；
2）若定义在上的函数知足，则函数不是上的单一减函数；

3）若定义在上的函数在区间上是单一增函数，在区间上也是单一增函数，则函数是上的单一增函数；
4）若定义在上的函数在区间上是单一增函数，在区间上也是单一增函数，则函数是上的单一增函数；
变式：若定义在上的函数对随意的都有建立，且当时，（ 1）求证：是奇函数；（ 2）求证：是
上的增函数；
函数 f(x)
，知足都有 f(x1+x2)= f(x1)+ f(x2)-3,
（ 1）判断函数 f(x)-3
的奇偶性并予以证明
⑵ 若 f(x)
最大值为 M，最小值为 m，求 M+m
剖析 ;适合赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求
M+m
分析；令则 f(0+0)= f(0)+ f(0)-3 得，令则 f(x-x)= f(x)+ f(-x)-3 得 f(x)+ f(-x)=6
，令则所以 f(x)-3