实验2.1多项式插值的振荡现象.docx

向宏志
20120047
(2012-10-13)
(多项式插值的振荡现象)
问题提出：考虑一个固定的区间上用插值逼近一个函数。显然拉格朗日
插值中使用的节点越多，插值多项式的次数就越高。我们自然关心插值多项,n+1
k22I2(n+1)丿
即“=cos，i=1,2,…九1,节点是对称的
1、2(n1)
a）当节点数取为奇数个时，即n=2:2:8时。得到的图像如下:
从图中可以看出：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的节点数越多，所有区域拟合都越好；
b）当节点数取为偶数个时，即n=3:2:9时
C8
2）
-—:
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的观察结论与节点数为奇数时几乎一样：节点数越多，所有区域拟合都越好；
只是由于0不再是节点，故而此时的插值函数也不再经过（0,1）点。那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，插值函数几乎和被插值函数重合。故而，上面的观察结论是正确的。
x
1+X4
节点为均匀节点时
x=—5+——,i=0丄2,,n
in
节点是对称的
a）当节点数取为奇数个时，即n=2:4:10时。得到的图像如下:
x
,8启丄2□.□.□.O.

-
-4
-1
x
x
x
从图中可以看出:节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的节点数越多，0附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；
b）当节点数取为偶数个时，即n=3:4:11时
x
此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的观察结论与节点数为奇数时几乎一样：
在0附近的拟合性随节点数的增加而变好；在两端节点数越多，误差越大；
那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，0附近几乎和被插值函数重合，而在两端其误差达到10人5量级。故而，上面的观察结论是正确的。
2、节点为不均匀节点时
x=—1+2,i=0丄2,,n
1n
节点是不对称的
a）当节点数取为偶数个时,
其中，第一幅图为n=3:4:ll,第二幅图为n=3:4:7从图中可以看出：节点数为基数个并且不对称时，插值函数也是不对称的节点数越多，0右侧的区域拟合越好；节点数越多，0左侧误差越大；
b）当节点数取为奇数个时，即n=2:2:6时
其中最下面那条是n=6；此时，节点的选取也是对称的，同样我们也看到插值函数的图像是对称的观察结论与节点数为奇数时几乎一样：节点数为偶数个并且不对称时，插值函数也是不对称的；
节点数越多，0右侧的区域拟合越好；节点数越多，0左侧误差越大；那么，n更大的时候是否也满足这样的趋势呢，我们考虑了第三种情况。
c）当n=40时
从图中我们看到，插值函数左右对称，0右侧几乎和被插值函数重合，而在左侧
其误差达到10人16量级。故而，上面的观察结论是正确的。
3、节点为切比雪肤节点时
a）当n=2:4:10时，节点个数为基数
0F

■
■/
-
2
3
5
从图中可以看出，插值函数过两端和原点，并且也是奇函数；n越大拟合度越好，没有出现误差增大的现象
b）当n=3:4:11时，节点数目为偶数
3)



V.
0
■
-
1
2
3
5
■
从图中可以看出，插值函数不经过两端，但也是奇函数节点数越多，拟合度也越好
■
c）当n=40时
N取得很大的时候，插值函数和被插值函数几乎重合。
3)
g(x)二arctanx

x=—5+——,i=0,1,2,,n
in
节点是对称的
a）当节点数取为奇数个时，即n=2:4:10时。得到的图像如下:
从图中可以看出：节点数为基数个并且对称时，插值函数也是对称的节点数越多，0附近的区域拟合越好；节点数越多，两端误差越大；
b）当节点数取为偶数个时，即n=3:4: