高考数学轮复习第6章不等式及其证明第3节基本不等式教师用书13.doc

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7第三节基本不等式
a＋b
1．基本不等式ab≤
2
基本不等式建立的条件：a>0，b>0.
等号建立的条件：当且仅当a＝b.

B．2
C．22
D．4
(2)(2017·湖州二次质量预测)已知正数x，y知足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值
__________．
1
2
1
2
2
(1)C
(2)3
[(1)
由a＋b＝ab知a>0，b>0，所以
ab＝a＋b≥2
ab，即ab≥22，
1
2
当且仅当
a＝b，
即a＝4
2，b＝2
4
2时取“＝”，所以
ab的最小值为
1
2
ab，
＋＝
a
b
2
2.
2
3－x2
31
313x
3
(2)由
x
＋2xy－3＝0
得y＝2x
＝2x－2x，则2x＋y＝2x＋2x－2x＝2
＋2x
3x
3
≥2
2·2x＝3，当且仅当x＝1时，等号建立，所以
2x＋y的最小值为3.]
[规律方法]
，注意“一正、
二定、三相等，和定积最
大，积定和最小”．
2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，能够考虑利用拆项、配凑、常数代换、
平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．
[变式训练1]
(1)(2017·金华十校4月联考)已知
a
>0，
>0，且2
a
＋＝1，若不等式
b
b
2
1
恒建立，则
的最大值等于( )
＋≥
a
b
m
m
A．10
B．9
C．8
D．7
(2)(2017·杭州学军中学一模)已知实数
，
知足
mn

11
m·n>0，m＋n＝－1，则＋的最大mn
值为__________．
21
a＋b
2a＋b
2b2a
ba
(1)B(2)－4[(1)∵a＋b＝
a
＋
b
＝4＋a＋b＋1＝5＋2
a＋b≥5＋
金戈出品
ba
1
21
2×2
a×b＝9，当且仅当
a＝b＝3时取等号．又a＋b≥m，∴m≤9，即m的最大值等于
9，
应选B.
∵m·n>0，m＋n＝－1，∴m<0，n<0，
1
1
＝－(
＋)
1
1
∴＋
＋
n
mn
m
n
m
n
m
n
m
＝－2＋＋
≤－2－2
·＝－4，
m
n
m
n
111
当且仅当m＝n＝－时，＋取得最大值－4.]
2mn
利用基本不等式证明不等式
已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：
111
(1)a＋b＋ab≥8；
11
(2)1＋a1＋b≥9.
1
1
1
1
1
[证明]
(1)a＋b＋ab＝2
a＋b，
∵a＋b＝1，a>0，b>0，
11
a＋b
a＋b
a
b
∴a＋b＝a＋b＝2＋b＋a≥2＋2＝4，4分
1111
∴a＋b＋ab≥8(当且仅当a＝b＝2时等号建立).7分
法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，
1
a＋b
b
1a
∴1＋a＝1＋
a＝2＋a，同理1＋b＝2＋b，
1
1
b
a
∴1＋a
1＋b＝2＋a2＋b
a
5＋2a＋b≥5＋4＝9，12分
∴1＋
1
1＋
1
≥9(当且仅当
1
时等号建立).14
分
a
b
a＝b＝
2
1
1
1
1
1
法