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文档列表 文档介绍
平面向量应用举例
平面几何中的向量方法
1
向量的相关概念及其形式
定义形式
坐标形式
数量积运算
向量的模
向量的夹角
垂直的判定
共线的判定
平面向量应用举例
平面几何中的向量方法
1
向量的相关概念及其形式
定义形式
坐标形式
数量积运算
向量的模
向量的夹角
垂直的判定
共线的判定
相等的判定
a=λb
2
向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题,包括相似问题,常用向量平行(共线)的条件 a∥b .
(2)证明垂直问题,常用向量垂直的条件
a⊥b .
3
利用夹角公式
(3)求夹角问题 ,

(4)求线段的长度,可以用向量的线性运算,向量的模|a|= 或|AB|=|AB|= .
4
A
B
C
D
问题:平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。
如图, 你能发现对角
线AC的长度与邻边AB、AD的长度之间的关系吗?
对角线DB?
对角线的长度与两条邻边
长度之间有何关系?
涉及到长度问题常常考虑向量的数量积
AB ²
AC ²
AD ²
DB ²
5
A
B
C
D
AB ²= a ²
AD ²= b ²
设AB=a,AD=b,则AC=a+b,DB=a-b,
分析:
AC ²=AC+AC=(a+b) (a-b)
·
=a a+a b+b a+b b
·
·
·
·
= a ²+2a b+ b ²
·
DB ²
= a ²- 2a b+ b ²
·
同理
DB ² =
AC ²+
2( a ²+ b ²)
AB ²+
AD ²
= 2 ( )
平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍.
6
利用向量法解决平面几何问题的基本思路
(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;
(2)通过向量运算,研究集合之间的关系,如距离、夹角等问题;
(3)把运算结果“翻译”成几何元素。
7
A
B
C
D
E
F
R
T
例2 如图, ABCD中,点E、F分别是AD 、 DC边的中点,BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点,你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗?
8
故AT=RT=TC
A
B
C
D
E
F
R
T
9
在日常生活中,你是否有这样的经验:
两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;
在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力,
你能从数学的角度解释这种现象吗?
10
在日常生活中,你是否有这样的经验: 两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力,你能从数学的角度解释这种现象吗?
G
F
F1
F2
θ
11
G
F
F1
F2
θ
即F1、F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力
∴当θ由0°~180°逐渐增大时, 由0°~90°
逐渐增大,而 的值逐渐缩小,因此
逐渐增大
解:设 则由向量的平行四边
形法则、力的平衡及直角三角形的知
识可知
12
G
F
F1
F2
θ
当θ=0, 最小,最小值是
当 θ 时,
例3. 在日常生活中,你是否有这样的经验: 两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力,你能从数学的角度解释这种现象吗?
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  • 时间2022-05-16