圆与方程知识点总结典型例题.docx

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圆和方程
1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.
2. 点和圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
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圆和方程
1. 圆的标准方程：以点为圆心，为半径的圆的标准方程是.
特例：圆心在坐标原点，半径为的圆的方程是：.
2. 点和圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
d＜r； ； d＞r
(2). 给定点及圆.
①在圆内
②在圆上
③在圆外
（3）涉及最值：
圆外一点，圆上一动点，讨论的最值
圆内一点，圆上一动点，讨论的最值
思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）
3. 圆的一般方程： .
(1) 当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
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(2) 当时，方程表示一个点.
(3) 当时，方程不表示任何图形.
注：方程表示圆的充要条件是：且且.
直线和圆的位置关系：
直线和圆
圆心到直线的距离
1）；
2）；
3）；弦长2
还可以利用直线方程和圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：
（1）当时，直线和圆有2个交点，，直线和圆相交；
（2）当时，直线和圆只有1个交点，直线和圆相切；
（3）当时，直线和圆没有交点，直线和圆相离；
5. 两圆的位置关系
（1）设两圆和圆，
圆心距
外离 外切 相交 内切
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（2）两圆公共弦所在直线方程
圆：，
圆：，
则为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
若和相切，则表示其中一条公切线方程；
若和相离，则表示连心线的中垂线方程.
（3）圆系问题
过两圆：和：交点的圆系方程为（）
补充：
上述圆系不包括；
2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
过直线和圆交点的圆系方程为
6. 过一点作圆的切线的方程：
过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即
求解k，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(1)2+(y—2)2=4的切线，则切线方程为
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。
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)2+(y—b)22，圆上一点为(x0，y0)，
则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r2
特别地，过圆上一点的切线方程为.
(—4，—8)点作圆(7)2+(8)2=9的切线，则切线方程为 。
7．切点弦
(1)过⊙C：外一点作⊙C的两条切线，切点分别为，则切点弦所在直线方程为：
8. 切线长：
若圆的方程为(x-a)2+(y-b)22，则过圆外一点P(x00)的切线长为 ．
9. 圆心的三个重要几何性质：
圆心在过切点且和切线垂直的直线上；
圆心在某一条弦的中