矩阵的秩及其求法矩阵秩求法演示文稿.ppt

矩阵的秩及其求法矩阵秩求法演示文稿
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第一页，共十七页。
优选矩阵的秩及其求法矩阵秩求法
第二页，共十七页。
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1. k 阶子式
定义1 设
在A中任取k 行k 列交叉
称为A的一个k 阶子式。
矩阵的秩及其求法矩阵秩求法演示文稿
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第一页，共十七页。
优选矩阵的秩及其求法矩阵秩求法
第二页，共十七页。
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1. k 阶子式
定义1 设
在A中任取k 行k 列交叉
称为A的一个k 阶子式。
阶行列式，
处元素按原相对位置组成的
一、矩阵的秩的概念
第三页，共十七页。
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设
，
例如
矩阵A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素
所构成的二阶子式为
而
为 A 的一个三阶子式。
显然，
矩阵 A 共有
个 k 阶子式。
第四页，共十七页。
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2. 矩阵的秩
设
，
有r 阶子式不为0，任何r+1阶
记作R(A)或秩(A)。
子式(如果存在的话)全为0 ,
定义2
称r为矩阵A的秩，
第五页，共十七页。
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规定： 零矩阵的秩为 0 .
注意：
(1) 如 R ( A ) = r，则 A 中至少有一个 r 阶子
式
所有 r + 1 阶子式为 0，且更高阶
子式均为 0，r 是 A 中非零的子式的最高阶数.
(2) 由行列式的性质，
(3) R(A) ≤m, R(A) ≤n, 0 ≤R(A) ≤min { m , n } .
(4) 如果 An×n , 且
则 R ( A ) = n .
反之，如 R ( A ) = n ,则
因此，方阵 A 可逆的充分必要条件是 R ( A ) = n .
第六页，共十七页。
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二、矩阵秩的求法
1、子式判别法(定义)。
例1
设
为阶梯形矩阵，
求R(B)。
解
，
由于
存在一个二阶子式不为0，而
任何三阶子式全为0，
则 R(B) = 2.
结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。
第七页，共十七页。
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例如
一般地，
行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——
非零行的行数。
第八页，共十七页。
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如果
求 a .
解
或
例2 设
第九页，共十七页。
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则
例3
第十页，共十七页。
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2、用初等变换法求矩阵的秩
定理2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。
即
则
说明：
只改变子行列式的符号。
是 A 中对应子式的 k 倍。
是行列式运算的性质。
由于初等变换不改变矩阵的秩，
而任一
都等价
于行阶梯矩阵。
其秩等于它的非零行的行数，即为
所以可以用初等变换化 A 为阶梯矩阵来求A的秩。
第十一页，共十七页。
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例4
解
R(A) = 2
，
求
第十二页，共十七页。
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例5
第十三页，共十七页。
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三、满秩矩阵
称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）
称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）
可见：
A 为 n 阶方阵时，
定义3
第十四页，共十七页。
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定理3
设A是满秩方阵，则存在初等方阵
使得
对于满秩方阵A施行初等行变换可以化为单位阵E,
又根据初等阵的作用：
每对A施行一次初等行变换，
相当于用一个对应的初等阵左乘A,
由此得到下面的
定理
第十五页，共十七页。
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例如
它的行最简形是 n 阶单位阵 E .
对于满秩矩阵A，
A为满秩方阵。
第十六页，共十七页。
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定理5
R(AB)
R(A),
R(AB)
R(B),即
R(AB)
min{R(A)，R(B)}。
关于矩阵的秩的一些重要结论：
性质1
设A是
矩阵，
B是
矩阵，
性质2 如果 A B = 0 则
性质3 如果 R(A)= n, 如果 A B = 0 则 B = 0。
性质4 设A,B均为
矩阵，则
第十七页，共十七页。