2.1.2 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明 教学案 3.docx

 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
教学案 3
教学目标：
，理解其几何意义；
，体会运用经典不等式的一般方法.
教学重点
 柯西不等式的一般形式及其参数配方法的证明
教学案 3
教学目标：
，理解其几何意义；
，体会运用经典不等式的一般方法.
教学重点:
一般形式柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式.
教学难点:
应用一般形式柯西不等式证明不等式.
教学过程：
一、课前回顾(知识链接)
定理1：(柯西不等式的代数形式)设 a, b, c, d 均为实数，则
(a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ³ (ac + bd ) 2 ，其中等号当且仅当 ad = bc 时成立.
(
定理2： 柯西不等式的向量形式)设 a ，b 为平面上的两个向量，则 | a | × | b |³| a × b | ，
其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立.
二、新课学****br/>1、问题探究
类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α .β |≤|α || β |.将空间向量的坐标代入，
可得到什么样的不等关系？
2、发现定理
定理4：一般形式的柯西不等式(教师引导学生推导)
学生齐读记忆定理
记清楚简写形式： å a  å b ³ (å a b ) 2 其中等号当且仅当
n n n
i=1 i=1 i=1

i i i i

2 2
b
1 =
a
1

a a
b b
2 = L = n 时
2 n
n
成立(当 ai = 0 时，约定 bi = 0 ， i = 1，2，…， n ).
三、应用举例：
例3 已知a1，a2，…， an都是实数，
1
求证： (a + a + L + a )2 £ a 2 + a 2 + L + a 2
1 2 n 1 2 n
分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.
例4已知a，b，c，d是不全相等的实数，
证明：a2 + b2 + c2 + d2 > ab + bc + cd + da(学生用不同的方法证明)
例5、已知 x + 2 y + 3