弹性力学-第二章应力状态理论ppt课件.ppt

张量——在数学上，如果某些量依赖于坐标轴的选择，并在坐标变换时，按某种指定的形式变化，则称这些量的总体为张量。简化缩写记号表达物理量的集合。
显著优点——基本方程以及其数学推导简洁
张量的特征——整体与描述坐标系无关

y
x
z
o
A
B
C
P
v
由
当 PABC → P 时:
同理，由
z
zy
zx
x
xy
xz
y
yz
yx
fvy
fvx
fvz
应力状态理论
y
x
z
o
A
B
C
P
fvy
fvx
fvz
v
ΔABC上的正应力 ：
将上式f vx,fvy ,fvz代入, 则:
就可求得任一斜截面
如已知
正应力和剪应力。
应力状态理论
应力分量的边界值与面力之间的关系（应力边界条件）。
如果ABC是物体边界面：
―― 面力
y
x
z
o
A
B
C
P
v
应力状态理论
例1：已知某点的应力状态为：
求：作用于过该点，方程为 的平面外 侧的正应力和剪应力。
解：
应力状态理论
N
面力：
方向：
(1) OA边界:
解：
例2：写出水坝OA、O1B的边界条件，设水的密度为 。
x
y
o
o1
A
B
代入应力边界条件:
应力状态理论
(2) 01B 边界：
面力：
N
x
y
o
o1
A
B
方向：
代入应力边界条件:
应力状态理论
例3:计算图示薄板齿尖A点的应力。
解：
1. AB: l1=cos , m1=sin 
∵AB应力边界条件为：
(1)
B
C
A


x
y
o
应力状态理论
B
C
A


x
y
o
2. AC: l2=cos , m2=-sin 
∵ AC应力边界条件为：
(2)
∵A是AB与AC的交点，A点的应力
同时满足(1)(2)，当≠0时得：
(1)
应力状态理论

§2－5 空间问题平衡微分方程
物体内任意一点 P
体力： Fx，Fy，Fz
均匀分布
应力分量：
位置坐标的函数
y
z
x
o
A
C
B
P
z
zy
zx
x
xz
xy
y
yx
yz
应力状态理论
y
z
x
o
A
B
C
P
z
zy
zx
x
xz
xy
y
yx
yz
由
同理：
剪应力互等
由
得:
（平衡方程）
x
y
z
a
b
应力状态理论
新坐标系 与 的夹角方向余弦为
新坐标系 下的应力分量为
§2－6应力张量及其坐标变换式
应力状态理论
建立 坐标系
设斜截面法线 与 轴方向一致
则应力矢量
其中
应力状态理论
将 向 轴投影就得到
将 向 轴投影就得到
将 向 轴投影就得到
将 向 轴投影就得到
向 轴投影就得到
斜截面ABC法线n与 轴方向相同——
向 轴投影就得到
应力状态理论
应力状态理论
张量表示为
矩阵表示为
应力状态理论
——应力分量满足张量变化规则
应力张量为二阶对称张量
转轴公式表明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。
应力张量可以确定一点的应力状态。
坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是作为整体所描述的应力状态没有变化
应力状态理论
§2－7 主应力与应力主向
主应力：剪应力为零面上的正应力。
（应力主向，应力主面）
y
x
z
o
A
B
C
P
fvy
fvx
fvz
v
应力状态理论
即为主应力
应力状态理论
其中：
主元之和
代数主子式之和
应力张量元素构成的行列式
应力状态不变量
应力状态理论
卡尔丹公式
应力状态理论
应力状态特征方程
确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。
主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。
因此，特征方程的根是确定的，即I