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弹性力学-第五章弹性力学问题的建立和一般原理ppt课件.ppt


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文档列表 文档介绍
弹性力学问题的建立和一般原理
第五章
§5-1 弹性力学问题的基本方程及其边值问题
平衡微分方程
几何方程
物理方程(广义虎克定律)
应力边界条件
位移边界条件
边界条件
混合边界条件据弹性体的几何形状,受力特征和变形特点,或已知简单结论,如材料力学解,假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知,由基本方程确定其他的未知量,然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。
逆解法:根据问题的性质,确定基本未知量和相应的基本方程,并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下,考察具有确定的几何尺寸和形状的物体,其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。
(三)圣维南原理
从前面分析我们知道,求解弹性力学问题时,只有知道作用于边界上的面力的详细分析情况,才能精确地写出他的边界条件。但在实际问题中往往会遇到两种情况。其一,虽然在大部分边界上面力分布是清楚的,但在其局部边界上面力分布并不清楚,而只知道它的静力效应,即它的主矢量和主矩。在这种情况下,无法精确地写出这局部边界上的边界条件,而只能从静力等效原则出发,让作用于这局部边界上应力的主矢量和主矩,分别地同所给面力的主矢量和主矩相等。这种形式的边界条件,实际上是一种放松边界条件。其二,在全部边界上的面力分布是清楚的,但我们所求的解答,虽然能精确地满足大部分边界上的边界条件,而在其局部,只能满足放松边界条件。
圣维南原理——物体任意一个小部分作用一个平衡力系,则该平衡力系在物体内部所产生的应力分布,仅局限于力系作用的附近区域。在距离该区域相当远处,这种影响便急剧减小。
圣维南原理——如果把物体的一小部分上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主向量相同,对同一点的主矩也相同),那么近处的应力分布将有显著的改变,但远处所受到的影响可以不计。
力作用点局部区域应力变化梯度大;远离力作用点区域,应力分布趋于均匀。
将集中力分解为两个载荷,应力分布梯度明显下降,明显接近均匀。
将集中力分解为均布载荷,均布载荷与远离集中力作用点的应力分布近似,材料力学拉伸应力公式就是圣维南原理的应用结果。
不适用的情况:
不适用
适用
圣维南原理放宽了边界条件,扩大弹性力学的求解范围。但至今无法从理论上证明,却为无数算例和实验证实。
薄壁杆件要求力的作用区域必须与壁厚尺寸大致相当,否则会引起严重错误。
§ 5-5 弹性力学的简单问题
(一)圆柱体的扭转
单位长度扭转角
将 向Ox轴和Oy轴方向分解,得
并假设其余应力分量都为零
y
x
o
x
y

tzy
tzx
t
R

半逆解法:
应力分量:
平衡微分方程
应力边界条件:
在S上
侧面:
端面:
满足!
圣维南原理
端面面力:
上端面:
y
x
o
x
y

tzy
tzx
t
R

M
端面面力:
下端面:
由于坐标原点位于横截面的形心。自然成立!
与上端面一样!
第三式为
于是证明了,对于圆柱体的扭转,用材料力学方法所求出的应力也是弹性力学的解答。
用应力表示的相容方程:
满足!
2. 应变分量:
3. 位移分量:
位移分量:
位移条件: (1)坐标原点固定:
(2)原点的单元固定:
x
y
z
o
M
t
r
位移分量:
(1)坐标原点固定:
(2)原点的单元固定:
过原点沿 z 向的线段在 xoz、zoy 面内不转动:
过原点沿 x 向的线段在 xoy面内不转动:
刚体位移为零。
平截面假设
x
y
u
v
uq

r
x
y
A
ur
(二) 等截面直杆的纯弯曲
设有等截面直杆,体力可以不计,在某一纵向的主平面内受有大小相等而方向相反的弯矩M。取左端截面的形心为坐标点,弯矩所在的主平面为xz 面,杆的形心轴为z轴,按照材料力学,应力分量的解答是
其中R是梁弯曲后梁轴线的半径,现在来考察,这个解答是否能满足弹性力学的一切条件。
由于 ,可见平衡微分方程是满足的,相容方程也是满足的。
在杆的侧面上, 所以边界条件是满足的。
因为面力 必须合成为弯矩M ,所以要求
因为y轴是形心轴,我们有 ,可见这一条件是满足的。
在杆的右端, 边界条件

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  • 时间2022-05-17