弹性力学问题的建立和一般原理 第五章 §5-1 弹性力学问题的基本方程及其边值问题 平衡微分方程 几何方程 物理方程(广义虎克定律) 应力边界条件 位移边界条件 边界条件 混合边界条件据弹性体的几何形状,受力特征和变形特点,或已知简单结论,如材料力学解,假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知,由基本方程确定其他的未知量,然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。 逆解法:根据问题的性质,确定基本未知量和相应的基本方程,并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下,考察具有确定的几何尺寸和形状的物体,其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。 (三)圣维南原理 从前面分析我们知道,求解弹性力学问题时,只有知道作用于边界上的面力的详细分析情况,才能精确地写出他的边界条件。但在实际问题中往往会遇到两种情况。其一,虽然在大部分边界上面力分布是清楚的,但在其局部边界上面力分布并不清楚,而只知道它的静力效应,即它的主矢量和主矩。在这种情况下,无法精确地写出这局部边界上的边界条件,而只能从静力等效原则出发,让作用于这局部边界上应力的主矢量和主矩,分别地同所给面力的主矢量和主矩相等。这种形式的边界条件,实际上是一种放松边界条件。其二,在全部边界上的面力分布是清楚的,但我们所求的解答,虽然能精确地满足大部分边界上的边界条件,而在其局部,只能满足放松边界条件。 圣维南原理——物体任意一个小部分作用一个平衡力系,则该平衡力系在物体内部所产生的应力分布,仅局限于力系作用的附近区域。在距离该区域相当远处,这种影响便急剧减小。 圣维南原理——如果把物体的一小部分上的面力,变换为分布不同但静力等效的面力(主向量相同,对同一点的主矩也相同),那么近处的应力分布将有显著的改变,但远处所受到的影响可以不计。 力作用点局部区域应力变化梯度大;远离力作用点区域,应力分布趋于均匀。 将集中力分解为两个载荷,应力分布梯度明显下降,明显接近均匀。 将集中力分解为均布载荷,均布载荷与远离集中力作用点的应力分布近似,材料力学拉伸应力公式就是圣维南原理的应用结果。 不适用的情况: 不适用 适用 圣维南原理放宽了边界条件,扩大弹性力学的求解范围。但至今无法从理论上证明,却为无数算例和实验证实。 薄壁杆件要求力的作用区域必须与壁厚尺寸大致相当,否则会引起严重错误。 § 5-5 弹性力学的简单问题 (一)圆柱体的扭转 单位长度扭转角 将 向Ox轴和Oy轴方向分解,得 并假设其余应力分量都为零 y x o x y tzy tzx t R 半逆解法: 应力分量: 平衡微分方程 应力边界条件: 在S上 侧面: 端面: 满足! 圣维南原理 端面面力: 上端面: y x o x y tzy tzx t R M 端面面力: 下端面: 由于坐标原点位于横截面的形心。自然成立! 与上端面一样! 第三式为 于是证明了,对于圆柱体的扭转,用材料力学方法所求出的应力也是弹性力学的解答。 用应力表示的相容方程: 满足! 2. 应变分量: 3. 位移分量: 位移分量: 位移条件: (1)坐标原点固定: (2)原点的单元固定: x y z o M t r 位移分量: (1)坐标原点固定: (2)原点的单元固定: 过原点沿 z 向的线段在 xoz、zoy 面内不转动: 过原点沿 x 向的线段在 xoy面内不转动: 刚体位移为零。 平截面假设 x y u v uq r x y A ur (二) 等截面直杆的纯弯曲 设有等截面直杆,体力可以不计,在某一纵向的主平面内受有大小相等而方向相反的弯矩M。取左端截面的形心为坐标点,弯矩所在的主平面为xz 面,杆的形心轴为z轴,按照材料力学,应力分量的解答是 其中R是梁弯曲后梁轴线的半径,现在来考察,这个解答是否能满足弹性力学的一切条件。 由于 ,可见平衡微分方程是满足的,相容方程也是满足的。 在杆的侧面上, 所以边界条件是满足的。 因为面力 必须合成为弯矩M ,所以要求 因为y轴是形心轴,我们有 ,可见这一条件是满足的。 在杆的右端, 边界条件