信号分析与处理：第6章 离散时间信号与系统的Z域分析.ppt

第6章 离散时间信号与系统的Z域分析
Z变换的定义

Z变换的性质
Z逆变换
Z变换与拉普拉斯变换的关系


Z。
（移序）特性
设X(z)=Z[x(n)]， r1< |z| < r2
则 ，r1< |z| < r2
证明：
利用此性质，可以把时域的差分方程变换为z域的代数方程，可以大大简化计算。
(1)双边移位性质
例 已知
，利用移位性质求
和
的Z变换。
解 :
样值序列与阶跃序列的关系为
则
根据移位性质
(1)单边移位性质
3. z域微分性质 （序列乘以n）
若 X(z)=Z[x(n)], r1 <|z| <r2
， r1 <|z| <r2
例 已知
，求序列
的Z变换。
当a=1时，
即为斜变序列
，因此
解 利用Z域微分性质可得
4. Z域尺度变换
设 X(z)=Z [x(n)], r1<|z|< r2
证明：
|a| r1<|z|< |a| r2
则
|a| r1<|z|< |a| r2
例：
，利用Z域的尺度变换，求
的Z变换。
解：
5. 时域反转（折叠性质）
如果
，则
证明：
6. 时域卷积定理
设 w(n)=x(n)*h(n)
X(z)=Z[x(n)], R x-<|z|< R x+
H(z)=Z[h(n)] R h-<|z|< R h+
则 W(z)=Z[w(n)]=X(z)H(z)， Rw-< |z |< Rw+
Rw+ =min[ Rx+ , Rh+]
Rw- =max[Rx-, Rh-]
证明：
W(z)的收敛域就是X(z)和H(z)的公共收敛域。
解 由于
应用卷积定理得
把Y(z)展开成部分分式，得
其逆变换则为
例 求下列两个单边指数序列的卷积。
7．初值定理
作业
6-1
6-2
6-3
Z逆变换
式中c为收敛域中的一条逆时针绕原点的闭合曲线。
逆Z变换
Z变换
求逆z变换的方法有：幂级数展开法、部分分式展开法和留数法等。
(长除法)
根据Z变换的定义
如果将X(z)写成幂级数。其系数就是相应的序列值。
右序列对应负幂级数z-1 ，左序列对应正幂级数z。
例 设X(z)=3z -1+5z -3-2z -4，求x(n)。
解 x(n)为移位样值序列的和，由下式给出
该序列也可表示为
许多序列的Z变换X(z)通常可以表示为如下形式的有理函数
式中，ai、bi为实系数。当X(z)的分子的次数M小于等于分母的次数N时，用长除法将分子除以分母可得z的负幂级数或正幂级数，进而可求得x(n)。
如果收敛域是|z|>r1，即x(n)是右边序列(因果序列)， X(z)应展成z的负幂级数，则N(z)和D(z)要按照z的降幂（或z-1的升幂）次序进行排列。
如果收敛域是|z|<r2，即x(n)是左边序列， X(z)应展成z的正幂级数，则N(z)和D(z)要按照z的升幂（或z-1的降幂）次序进行排列。
例: 求
的逆变换。其收敛域分别是|z|>2和|z|<1。
解 （1）收敛域|z|>2，是因果序列。
将X(z)的分子和分母按z的降幂排列，用长除法有
则
例: 求
的逆变换。其收敛域分别是|z|>2和|z|<1。
解 （2）收敛域|z|<1，是反因果序列。
将X(z)的分子和分母按z的升幂排列，即

对于大多数单阶极点的序列，常常用部分分式展开法求逆Z变换。
设x(n)的z变换X(z)是有理函数，分母多项式是N阶，分子多项式是M阶，将X(z)展成一些简单的逆变换已知的部分分式的和，通过查表求得各部分的逆变换，再相加即得到原序列x(n)。设X(z)只有N个一阶极点，可展成下式
观察上式，X(z)/z在z=0的极点留数就是系数A0，即
X(z)/z在z=zm的极点留数就是系数Am ， 即
求出